数学归纳法的七种变式及其应用

1数学归纳法的七种变式及其应用摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法.关键词：数学归纳法；七种变式；应用1引言归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质4是证明一个命题对于所有的自然数都是成立的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等.数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题.2数学归纳法的变式及应用2.1第一数学归纳法设pn是一个含有正整数n的命题,如果满足：1）1p成立（即当1n时命题成立）；2）只要假设pk成立（归纳假设），由此就可证得1pk也成立（k是自然数），就能保证对于任意的自然数n，命题pn都成立.通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为：设pn是一个含有正整数n的命题(na，*aN),如果1）当n=a时,pa成立；22）由pkka成立必可推得1pk成立,那么pn对所有正整数na都成立.例1用数学归纳法证明11223341123nnnnn.证明：（1）当1n时，左边=122，右边=112323，因此等式成立.（2）假设nk时成立，即11223341123kkkkk成立.当1nk时，左边=122334112kkkk=112123kkkkk=11233kkk=右边因此，当1nk时等式也成立.2.2第二数学归纳法设pn是一个含有正整数n的命题*,naaN，如果：1）当n=a时,pa成立；2）由pm对所有适合amk的正整数m成立的假定下，推得1pk时命题也成立,那么pn对所有正整数na都成立.例2利用数学归纳法证明第n个质数22nnp证明：（1）当1n时，12122p，命题成立.（2）设1nk时命题成立，即1222212222kkp,p,,p，即1222212222kkppp，则1211222222121222kkkkppp.3所以121kppp的质因子122kp.又12kp,p,,p都不是121kppp的质因子（相除时余1），故kpp.即1kpp.因此，1212kkpp.即1nk时命题也成立.综上（1）、（2）可知对于任何自然数n命题都成立.2.3反向归纳法1反向归纳法也叫倒推归纳法.相应的两个步骤如下：（1）对于无穷对个自然数，命题成立.（2）假设1pk成立，可导出pk也成立.由（1）、（2）可以判定对于任意的自然数n,pn都成立.例3利用倒推归纳法证明GA.证明：（1）首先证明，当2mn（m为自然数）时，不等式（2）成立.对m施行归纳法.当1m时，即2n时，12122aaaa（已证）.当2m时，即4n时12344123412342aaaaaaaaaaaa3412222aaaa12344aaaa.因此12m,时，不等式（2）都成立.设当mk时不等式（2）成立，那么当1nk时112122212kkkkaaaaa=12212212kkkkkaaaa1221221212kkkkkaaaa1122121222kkkkkaaaa11221212kkkkaaaa.由此可知，对于2mn形状的自然数，不等式（2）是成立的.即对无穷多个自然数2，4，8，16，2m，不等式（2）是成立的.（2）下面再证倒推归纳法的第二步.4假设1nk时，不等式（2）成立.只要导出nk时不等式（2）也成立就可以了.为证1212kkkaaaaaak，设12kaaabk，即12kaaakb.由假设1211211kkkaaabkbbaaabbkk112kkaaabb，12kkaaab.即1212kkkaaaaaak由（1）、（2），对于任意的自然数n，不等式（2）都成立.2.4二重归纳法2设pn,m是一个含有两个独立正整数n，m的命题，如果（1）1p,m对任意正整数m成立，1pn,对任意正整数n成立；（2）在1pn,m与1pn,m成立的假设下，可以证明11pn,m成立.那么pn,m对任意正整数n和m都成立.例4设n，m都是正整数，则用数学归纳法证明不定方程12mxxxn的非负整数解的个数为1nnmC证明：（1）当1n时，不定方程12mxxxn为121mxxx显然，方程121mxxx的非负整数解为100,,,，010,,,，，001,,,共有m组，而按1nnmC式计算，方程121mxxx的非负整数解的组数为1mCm，所以1p,m对任意正整数m都成立.当1m时，不定方程512mxxxn为1xn显然，此方程只有一组解，而由1nnmC式可知，方程1xn的非负整数解的组数为1nnC，因此1pn,对任意正整数n成立.（3）假设结论对1pn,m和1pn,m成立,即假设不定方程121mxxxn的非负整数解的组数为1nnmC，不定方程121mmxxxxn的非负整数解的组数为nnmC.现在来考虑不定方程1211mmxxxxn的非负整数解的组数，该方程的非负整数解可分为两类：第一类当10mx时，方程1211mmxxxxn变为121mxxxn，所以方程1211mmxxxxn满足10mx的非负整数解的组数为1nnmC.第二类当10mx时，令11110mmmxxx，则方程1211mmxxxxn变为121mmxxxxn.方程1211mmxxxxn与方程6121mmxxxxn实为同一方程，所以，方程1211mmxxxxn满足10mx的非负整数解的组数为1nnmC.因此,方程1211mmxxxxn的非负整数解的组数为11111m+11CnnnnnmnmnmnCCC这表明，命题11pn,m成立.于是，由二重归纳法知，对任意正整数n和m，命题都成立.2.5螺旋式归纳法1现有两个与自然数n有关的命题An，Bn.如果满足11A是正确的.2假设Ak成立，能导出Bk成立，假设Bk成立，能导出1Ak成立.这样就能断定对于任意的自然数n，An和Bn都正确.例5数列na满足223lal，21311lall其中l是自然数，又令nS表示数列na的前n项之和，求证：22114312lSlll（1）2214312lSlll（2）证明：这里可把等式（1）：22114312lSlll看作命题Al，把等式（2）：2214312lSlll看作命题Bl(l为自然数).①1l时，11S，等式（1）成立.②假设lk时，等式（1）成立.即722114312kSkkk那么222212143132kkkSSakkkk=214312kkk.即等式（2）也成立.这就是说，若Ak成立可导出Bk成立.又假设Bk成立，即2214312kSkkk.那么2212114313112kkkSSakkkkk=3221241212436312kkkkkk=321413112kkk=211413112kkk.这就是说，若命题Bk成立，可以导出命题1Ak也成立.由①、②可知，对于任意的自然数l等式（1）、（2）都成立.显然，这种螺旋式归纳法也实用于多个命题的情形，在原有的基础上再加入Cn也是成立的.2.6跳跃归纳法1若一个命题Ｔ对自然数1,2,,l,都是正确的；如果由假定命题T对自然数k正确，就能推出命题T对自然数lk正确．则命题对一切自然数都正确．证明：因为任意自然数0nlqrrl由于命题对一切lr0中的r都正确，所以命题对,,2lrlrlrkl都正确，因而对一切n命题都正确．例6求证用面值3分和5分的邮票可支付任何n(8n)分邮资．证明：显然当8n，9n，10n时，可用3分和5分邮票构成上面邮资（8n时，用一个3分邮票和一个5分邮票，9n时，用3个3分邮票，10n时，用2个5分邮票）．下面假定kn时命题正确，这时对于3kn，命题也正确，因为n分可用3分与5分8邮票构成，再加上一个3分邮票，就使3n分邮资可用3分与5分邮票构成．由跳跃归纳法知命题对一切8n都成立．2.7关于实数的连续归纳法3设px是关于实数x的一个命题，如果：⑴有a，当xa时，px成立；⑵如果对所有小于y的x，px成立，则由zy，使得对所有小于z的x，px成立；则对所有实数x，px成立.例7证明连续函数的介值定理：设fx是a,b上的连续函数，0fafb，则有ca,b，使得0fc.证明：不妨令fx在(,]a上恒为fa，在[,)b上恒为fb.用反证法，设没有实数c，使得0fc.考虑命题px：0fx.则有：⑴显然，当xa时px成立；⑵如果对所有小于y的x，px成立，即0fx；由连续性可得0fy.由反证法假设，fy不能为0，故0fy.再由连续性，有0d，使得0f在,ydyd上成立.故有zydy，对所有小于z的x，px成立.由连续归纳法，对所有实数x，px成立：0fx.这与0fb矛盾，说明反证法假设不成立.下面，我们用连续归纳法证明柯西收敛准则.例85（Cauchy收敛准则）数列na收敛0，存在一个正整数N，nN，mN，nmaa.证明6：必要性易证.现证充分性.a若na有无穷多项相等，不妨设12knnnaaaa，则na收敛于a.事实上，由条件0，存在一个正整数N，0