一道解三角形的一题多解分享

解三角形问题一题多解题例：在ABC中，角CBA,,的对边分别记为cba,,，且2b，若三边cba,,成等差数列，求该三角形内切圆的半径的最大值。分析与解答：本题关键是找出内切圆的半径r与cba,,的关系，然而范围得产生方式可以由均值不等式，也可以是函数思想。法一：由等面积法知：Bacrcbasin21)(21，又42bca，得Bacrsin61由均值不等式得4)2(2caac，当且仅当2ca取等；又由余弦定理212422cos222acacacbcaB，得23sinB当且仅当2ca取等；所以3323461sin61Bacr，即内切圆的半径的最大值为33法二：利用法一的部分过程得Bacrsin61，16242)(2cos2222acacaccaacbcaB所以22)(3612)16(1sinacacacB，所以9)4(3319331sin61aaacBacr，)40(a进而转化为关于a的函数去求最大值，以下过程略。法三：由题得6cba,由海伦公式得3)4(3)23)()(3(3aacaaS；Bacrcbasin21)(21可得，Sr31，回到法二；法四：由余弦定理)cos1(2)(42Bacca可得，Baccos16；BBBacSrcos1sinsin213131，]3,0(B,转化为关于B的函数，由几何意义可以转化为动点)sin,(cosBBP（红色部分）与定点)0,1(1连线的斜率，可求得33r。法五：2,4bca抓住内切圆与三角形的图形可以得出：1x2112cosrB，22122cos2cos1rBB由余弦定理得)cos1(2)(42Bacca得4)2()1(322carac，得33r，即内切圆的半径的最大值为33；法六：由法五得：212cos1rB，即1cos12Br，1cos21B，转化为关于Bcos的函数，可求得33r。法七：由,4ca即24ACBCBA,知点B的轨迹为以A,C为焦点的椭圆，长轴长4，短轴长为32，B的轨迹方程为13422yx，故当B在椭圆短轴端点时面积最大，即S的最大值为33221，所以内切圆的半径的最大值为33。