搜索
1习题一1.下列函数是否相等,为什么?2222(1)(),();(2)sin(31),sin(31);1(3)(),()1.1fxxgxyxutxxfxgxxx===+=+−==+−解:(1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集RRRR;由2xx=知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集RRRR,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数()fx的定义域是{,1}xxx∈≠RRRR,而函数()gx的定义域是实数集RRRR,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.2.求下列函数的定义域211(1)4arctan;(2)3;lg(1)(3);(4)arccos(2sin).1yxyxxxxyyxx=−+=++−==−解:(1)要使函数有意义,必须400xx−≥⎧⎨≠⎩即40xx≤⎧⎨≠⎩所以函数的定义域是(,0)(0,4]−∞U.(2)要使函数有意义,必须30lg(1)010xxx+≥⎧⎪−≠⎨⎪−⎩即301xxx≥−⎧⎪≠⎨⎪⎩所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).(3)要使函数有意义,必须210x−≠即1x≠±所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)−∞−−+∞UU.(4)要使函数有意义,必须212sin1x−≤≤即11sin22x−≤≤即ππ2π2π66kxk−+≤≤+或5π7π2π2π66kxk+≤≤+,(k为整数).也即ππππ66kxk−+≤≤+(k为整数).所以函数的定义域是ππ[π,π]66kk−++,k为整数.3.求函数1sin,00,0xyxx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的定义域与值域.解:由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x≠时,1x可以是不为零的任意实数,此时,1sinx可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].4.没1()1xfxx−=+,求1(0),(),().ffxfx−解:10(0)110f−==+,1()1(),1()1xxfxxx−−+−==+−−1111().111xxfxxx−−==++5.设1,10()1,02xfxxx−≤⎧=⎨+≤≤⎩,求(1)fx−.解:1,1101,01(1).(1)1,012,13xxfxxxxx−≤−≤⎧⎧−==⎨⎨−+≤−≤≤≤⎩⎩6.设()2,()lnxfxgxxx==,求(()),(()),(())fgxgfxffx和(())ggx.解:()ln(())22,gxxxfgx==(())()ln()2ln2(ln2)2,xxxgfxfxfxx==⋅=⋅()2(())22,(())()ln()lnln(ln).xfxffxggxgxgxxxxx====7.证明:3()21fxx=−和31()2xgx+=互为反函数.证:由321yx=−解得312yx+=,3故函数3()21fxx=−的反函数是31()2xyx+=∈RRRR,这与31()2xgx+=是同一个函数,所以3()21fxx=−和31()2xgx+=互为反函数.8.求下列函数的反函数及其定义域:2531(1);(2)ln(2)1;1(3)3;(4)1cos,[0,π].xxyyxxyyxx+−==+++==+∈解:(1)由11xyx−=+解得11yxy−=+,所以函数11xyx−=+的反函数为1(1)1xyxx−=≠−+.(2)由ln(2)1yx=++得1e2yx−=−,所以,函数ln(2)1yx=++的反函数为1e2()xyx−=−∈RRRR.(3)由253xy+=解得31(log5)2xy=−所以,函数253xy+=的反函数为31(log5)(0)2yxx=−.(4)由31cosyx=+得3cos1xy=−,又[0,π]x∈,故3arccos1xy=−.又由1cos1x−≤≤得301cos2x≤+≤,即02y≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos,[0,π]yxx=+∈的反函数为3arccos1(02)yxx=−≤≤.9.判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:2(1);(2)ln1xyyxxx==++解:(1)函数的定义域为(-∞,+∞),当0x≤时,有201xx≤+,当0x时,有21122xxxx≤=+,故(,),x∀∈−∞+∞有12y≤.即函数21xyx=+有上界.又因为函数21xyx=+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数21xyx=+有界.4又由1212121222221212()(1)11(1)(1)xxxxxxyyxxxx−−−=−=++++知,当12xx且121xx时,12yy,而当12xx且121xx时,12yy.故函数21xyx=+在定义域内不单调.(2)函数的定义域为(0,+∞),10,0Mx∀∃Q且12;e0MxMx∃,使2lnxM.取012max{,}xxx=,则有0012lnln2xxxxMM++,所以函数lnyxx=+在定义域内是无界的.又当120xx时,有12120,lnln0xxxx−−故1211221212(ln)(ln)()(lnln)0yyxxxxxxxx−=+−+=−+−.即当120xx时,恒有12yy,所以函数lnyxx=+在(0,)+∞内单调递增.10.判断下列函数的奇偶性:22(1)()11;(2)eesin.xxfxxxyx−=−++=−+解:(1)()1()1()11()fxxxxxfx−=−−++−=++−=Q()11fxxx∴=−++是偶函数.(2)222222()eesin()eesin(eesin)()xxxxxxfxxxxfx−−−−=−+−=−+=−−+=−Q∴函数22eesinxxyx−=−+是奇函数.11.设()fx定义在(-∞,+∞)上,证明:(1)()()fxfx+−为偶函数;(2)()()fxfx−−为奇函数.证:(1)设()()()Fxfxfx=+−,则(,)x∀∈−∞+∞,有()()()()FxfxfxFx−=−+=故()()fxfx+−为偶函数.(2)设()()(),Gxfxfx=−−则(,)x∀∈−∞+∞,有()()()[()()]()GxfxfxfxfxGx−=−−−=−−−=−5故()()fxfx−−为奇函数.12.某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半).解:设年销售批数为x,则准备费为103x;又每批有产品610x件,库存数为6102x件,库存费为6100.052x×元.设总费用为,则63100.05102yxx×=+.13.邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20g按20g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.解:当x能被20整除,即[]2020xx=时,邮资0.802025xxy=×=;当x不能被20整除时,即[]2020xx≠时,由题意知邮资0.80120xy⎡⎤=×+⎢⎥⎣⎦.综上所述有,02000;2520200.80,02000.1202020xxxxyxxxx⎧⎡⎤≤=⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎡⎤⎪×≤≠+⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎩且且其中20x⎡⎤⎢⎥⎣⎦,120x⎡⎤+⎢⎥⎣⎦分别表示不超过20x,120x+的最大整数.14.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解:011()(2cot)(cot)22ShADBChhBCBChBChϕϕ=+=++=+从而0cotSBChhϕ=−.000()22cotsinsin2cos2cos40sinsin40LABBCCDABCDShhBChhSShhhhϕϕϕϕϕ=++==+=+−−−=+=+oo6由00,cot0ShBChhϕ=−得定义域为0(0,tan40)So.15.下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?5122412(1)(1);(2)sin(12);1(3)(110);(4).1arcsin2xyxyxyyx−=+=+=+=+解:(1)124(1)yx=+是由124,1yuux==+复合而成.(2)2sin(12)yx=+是由2,sin,12yuuvvx===+复合而成.(3)512(110)xy−=+是由152,1,10,wyuuvvwx==+==−复合而成.(4)11arcsin2yx=+是由1,1,arcsin,2yuuvvwwx−==+==复合而成.16.证明:211(1)arcsinhln(1);(2)arctanhln,1121xxxxxxx+=++=−−证:(1)由eesinh2xxyx−−==得2e2e10xxy−−=解方程2e2e10xxy−−=得2e1xyy=±+,因为e0x,所以2e1xyy=++,2ln(1)xyy=++所以sinhyx=的反函数是2arcsinhln(1)().yxxxx==++−∞+∞(2)由eetanheexxxxyx−−−==+得21e1xyy+=−,得1112ln,ln121yyxxyy++==−−;又由101yy+−得11y−,所以函数tanhyx=的反函数为11arctanhln(11).21xyxxx+==−−17.写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:1234579(1)0,,,,,;(2)1,0,3,0,5,0,7,0,;(3)3,,,,.3456357−−−−LLL解:1(1),1nnxn−=+当n→∞时,1nx→.1(2)cosπ2nnxn−=,7当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于−∞.21(3)(1)21nnnxn+=−−,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.18.对下列数列求limnnax→∞=,并对给定的ε确定正整数()Nε,使对所有()nNε,有nxaε−:1π(1)sin,0.001;(2)2,0.0001.2nnnxxnnnεε===+−=解:(1)lim0nnax→∞==,0ε∀,要使11π0sin2nnxnnε−=,只须1nε.取1Nε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当nN时,必有0nxε−.当0.001ε=时,110000.001N⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于1000的整数.(2)lim0nnax→∞==,0ε∀,要使2210222nxnnnnnnε−===+−++只要1nε即21nε即可.取21Nε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当nN时,有0nxε−.当0.0001ε=时,821100.0001N⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于108的整数.19.根据数列极限的定义证明:2221313(1)lim0;(2)lim;212(3)lim1;(4)lim0.9991.nnnnnnnnnan→∞→∞→∞→∞−==++==678L个证:(1)0ε∀,要使22110nnε=−,只要1nε.取1Nε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当nN时,恒有210nε−.故21lim0nn→∞=.(2)0ε∀,要使555313,2(21)4212nnnnnε−=−++只要5nε,取5Nε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当8nN时,恒有313212nnε−−+.故313lim212nnn→∞−=+.(3)0ε∀,要使22222221()aanannnannε+=−++,只要2anε,取2anε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当nN时,恒有221nanε+−,从而22lim1nnan→∞+=.(4)因为对于所有的正整数n,有10.99991n−64748L个,故0ε∀,不防设1ε,要使1,0.999110nnε=−678L个只要ln,ln10nε−取ln,ln10Nε−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则当nN时,恒有,0.9991nε−678L个故lim0.