建模案例课件-应急设施的选址问题

314253233220332500313433523440120130203230004310421234561234567891011应急设施的选址问题1985年每个长方形街区出现紧急事件的次数，在北边的L形街区有一个障碍,而在南边的长方形区域是一个有浅水池塘的公园。应急车辆驶过一条南北向的街区平均要花15s，通过一条东西向的街区平均要花20s，确定这两个应急设施的位置，使得总的响应时间最少。（1）假设应急需求集中在每个街区的中心，而应急设施位于街角处；（2）假设应急需求沿包围每个街区的街道是均匀分布的，而应急设施可以位于街道的任何地方。里奥兰翘镇迄今还没有自己的应急设施。1986年该镇得到了建立两个应急设施的安全拨款。每个设施将救护站、消防队和警察局合在一起。图中指出了一、假设1.两个障碍中均不需要应急服务；2.各年的应急事件的数目比较小，不会同时发生两个事件；3.忽略车辆拐弯和过十字街口的时间，仅考虑沿街道运行的时间；4.当连接两点的不同路径所用的时间相同时，路径可任选其一；5.未来的需求分布不会与现在的需求相差太远；6.两个应急设施在处理紧急事件时，能力和效率相同，可任选一个；二、分析与建模为了使应急车辆的平均响应时间取得极小，必须有一个方法去确定网格中任意两点的运行时间，令),(111yxP和),(222yxP分别表示网格中两点东西向和南北向坐标。一般地说，P1和P2两点之间的运行时间就是这两点之间东西向和南北向行驶时间之和。两点之间的运行时间，可按下列方法计算：1.P1与P2不在同一行也不在同一列时21211520yyxxt2.P1与P2在相同行时)}]1[2(]),[2min{(152021112121yyyyyyxxt])[]([21yy1P2P3.P1与P2在相同列时)}]1[2(]),[2min{(201521112121xxxxxxyyt])[]([21xx1P2P因为在遇到障碍时车辆可能运行额外的距离，故在有障碍的网格中，上面的计算公式必须给以修正。先考虑长方形的障碍，一个障碍至少应含有两个街区的宽度或长度。),(111yxP),(222yxP这时东西走向的运行时间没有改变，南北向的修正时间就是分别从南边或北边绕过障碍的时间减去原来南北向运行时间后取较小的一个。cdabP1与P2之间的修正时间为：})2,2(min{152121cyyyyd),(111yxP),(222yxPcdab－（无障碍时南北向运行距离）两点位于障碍的南北向两侧阴影的修正时间与上面类似。下面讨论有L形障碍时修正时间的计算问题。小L边abcde当一个点不在小L边的周界上时，修正时间可以用前面给出的长方形障碍的修正公式计算。当一个点位于小L边的周界上时，另一个点位于阴影区域中任何一点时都需要进行修正。小L边abcde修正算法的基本思想是，先沿L从两个方向运行，取最快的路径，再减去原来的相应部分以避免重复，修正算法分别考虑一个点位于小L边的竖直部分或水平部分，而另一个点位于a,b,c,d,e五个区域的情况。314253233220332500313433523440120130203230004310421234561234567891011模型1设应急服务的需求位于各街区的中心，且应急设施必须位于街道的交叉点，因该镇有66个交叉点，这意味着两个应急设施有66×65＝4110种可能的位置。该镇有50个街区，即有50个可能出现紧急事件的位置，故可以通过试验各种可能的情形求出最小的响应时间。模型2设应急服务的需求沿各街区的街道均匀分布，且应急设施建立在镇内街道的任何点，下面证明两个结果，并把问题简化为离散的情况。定理1若一个应急设施不位于街道的交叉点，则可以通过将该设施移至一个适当的交叉点而减少响应时间。定理2设仅有一个应急设施，紧急需求沿街道均匀分布，且应急车辆总是沿着一个固定街口进入这段街道的，则总的响应时间与紧急需求集中在街道中点的响应时间相同。在定理1，2的基础上，可以把应急需求均匀分布在街段上的连续分布问题等价地转化为应急需求集中在街段中点的离散问题。在某些特殊情况下还须进行修正，若有两个应急设施，某街段的一部分靠近一个应急设施，而另个部分更靠近另一个应急设施，这时无法把整个街段集中到街段的中心，必须把它分成两段，其分界点是到两个应急设施行驶时间相等的点。相应地，将服务需求分为两部分A和B，使A＋B＝总需求，这样分解后的需求可以认为分别集中在这两个子段的中心。这些结果意味着仅需重新考虑在交叉点上的4110种应急设施的位置，和可能发生紧急需求的112个街段，这个问题可以通过直接计算解决。三、求解与结果模型1的5个最好位置如下P1(4,5)(4,5)(4,5)(3,5)(4,5)P2(4,9)(4,10)(3,9)(4,9)(3,10)平均响应时间（S）47.047.547.647.747.7模型2的5个最好位置如下P1(4,5)(4,4)(4,5)(3,5)(4,5)P2(4,9)(4,9)(3,10)(4,9)(3,9)平均响应时间（S）47.047.047.147.247.21.最优解2.解的稳定性假设紧急需求随时间随机地变化，从长期看，各街区的平均需求差别不大，除障碍区的需求为零外，设各街区的需求数都是1，计算得应急设施的最优位置为P1(4,4),P2(4,9),平均响应时间为48.9s,可见解有较好的稳定性。3.障碍位置的变化对解是比较敏感的。4.问题的推广此方法可以应用到街道和应急设施更多，但障碍区较少的大城市中去。