椭圆的定义及基标准方程(带动画)

生活中的椭圆思考数学实验•(1)取一条细绳，•(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2•(3)用铅笔尖（P）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？F1F2F2F1P(1)由于绳长固定，所以点P到两个定点的距离和是个定值（2）点P到两个定点的距离和要大于两个定点之间的距离（一）椭圆的定义•平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（2a）（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。•定点F1、F2叫做椭圆的焦点。•两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：aMFMF221(2a2c)MF2F1小结：椭圆的定义需要注意以下几点1.平面上----这是大前提2.动点M到两定点F1，F2的距离之和是常数2a3.常数2a要大于焦距2C注意：1.当2a2c时,轨迹是（）椭圆2.当2a=2c时,轨迹是一条线段,是以F1、F2为端点的线段．3.当2a2c时,无轨迹,图形不存在.4.当c=0时,轨迹为圆．♦探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”OxyOxyOxyMF1F2Oxy解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2M0y（问题：下面怎样化简？）122MFMFa222212(),()MFxcyMFxcyaycxycx2)()(2222得方程由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标椭圆的标准方程的推导222222bayaxb22ba两边除以得).0(12222babyax设所以即,0,,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx222)(ycxacxa2222222222422yacacxaxaxccxaa两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方)0(12222babxay012222babyax焦点在y轴：焦点在x轴：椭圆的标准方程1oFyx2FM12yoFFMx012222babyax012222babxay图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系a2=b2+c2MF1+MF2=2a(2a2c0)定义12yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.哪个分母大，焦点就在哪个轴上。练习1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标。2212516xy+=答：在X轴（-3，0）和（3，0）221144169xy+=答：在y轴（0，-5）和（0，5）222211xymm+=+答：在y轴。（0，-1）和（0，1）先定位，再定量11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx口答：下列方程哪些表示椭圆？?2222xy1.1xa3a()xy2.1yb9b()方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围为。方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围为。0b9练一练：a33、已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________1162522yx543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD|CF1|+|CF2|=2a例求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10；解：∵椭圆的焦点在x轴上∴设它的标准方程为∴所求的椭圆的标准方程为22221(0)xyabab∵2a=10，c=422222549bac221259xy（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点解：∵椭圆的焦点在y轴上，由椭圆的定义知，35,22∴设它的标准方程为22221(0)yxabab222235352222222a21010a又∵c=22221046bac∴所求的椭圆的标准方程为221106yx例2:如图，在圆解：设M(x,y),P(x0,y0)00：,.2yxxy于是00（,)Pxy22由于在x+y=4上,2200所以x+y=4.x22+4y=4,4x22即:+y=1,所以M点的轨迹是一个焦点在X轴上的椭圆。224xy上任取一点P，过P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？00,2xxyy2200把代入x+y=4中,得例3：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。解：由4x2+ky2=1,可得221114xyk因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以11k4即：k4所以k的取值范围为0k4。10,0kk又例4、化简：10)3()3(2222yxyx答案：1162522xy|MF1|+|MF2|=10分析：点(x,y)到两定点(0,-3)、(0,3)的距离之和为定值10。例5：动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为-------------（）A.椭圆B.线段F1F2C.直线F1F2D.不能确定B