几种常见的曲面及其方程(1)

第四节一、几种常见的曲面及其方程二、二次曲面三、曲线曲面与曲线第七章由两点间距离公式1.空间一动点到定点的距离为定值，该动点轨迹叫球面。特别,当M0在原点时,球面方程为设轨迹上动点为定值为R，定点xyzoM0M表示上(下)球面.Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx定点叫球心，定值叫半径。例2.研究方程解:配方得5,)0,2,1(0M此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.xyzxyzo2、柱面.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.抛物柱面,椭圆柱面.12222byax经过z轴的平面.0yx以上的柱面母线都平行于Z轴CC叫做准线,l叫做母线.xyzoooClM1M222Ryx圆柱面xzy2l一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线xoz面上的曲线l3.母线柱面,准线xoy面上的曲线l1.母线准线yoz面上的曲线l2.母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l一条平面曲线3、旋转曲面绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为,),,(zyxM当绕z轴旋转时,0),(11zyf,),,0(111CzyM若点给定yoz面上曲线C:),,0(111zyM),,(zyxM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxC思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为)(2222yxazxyz两边平方L),,0(zyMxy例4.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转122222czyax绕z轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z二、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为0)1.椭球面),,(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby012222yczax1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz(4)当a＝b时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c时为球面.(3)截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,,(为正数)z2.抛物面zqypx2222(1)椭圆抛物面(p,q同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.(p,q同号)zyx3.双曲面(1)单叶双曲面by1)1上的截痕为平面1zz椭圆.时,截痕为22122221byczax(实轴平行于x轴；虚轴平行于z轴）1yyzxy),,(1222222为正数cbaczbyax1yy平面上的截痕情况:双曲线:虚轴平行于x轴）by1)2时,截痕为0czax)(bby或by1)3时,截痕为22122221byczax(实轴平行于z轴;1yyzxyzxy相交直线:双曲线:0(2)双叶双曲面),,(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy双曲线上的截痕为平面1xx上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面图形4.椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.zxyo1)()(2222tbytaxtz,可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换得到,见书P316)xyz内容小结1.空间曲面三元方程0),,(zyxF•球面2202020)()()(Rzzyyxx•旋转曲面如,曲线00),(xzyf绕z轴的旋转曲面:0),(22zyxf•柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.2.二次曲面三元二次方程),(同号qp•椭球面•抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222•双曲面:单叶双曲面2222byax1双叶双曲面2222byax1•椭圆锥面:22222zbyax1、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组2SL0),,(zyxF0),,(zyxG1S例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.xzy1oC2三、曲线又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.yxzazyxo2、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线vbt,令bh2的参数方程为上升高度,称为螺距.M例1.将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为3、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去z得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCCzxyo1C又如,所围的立体在xoy面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线.0,122zyx所围圆域:二者交线在xoy面上的投影曲线所围之域.(2)ozyxo121x2y(1)224yxz0xyxzyo2几种常见的曲线及在坐标平面上的投影(3)zxyooaoa222azx222ayxP324题2(1)ozy15xy3xy15xy3xyyz2x319422yx3y022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzayxza作业P323，4，5，6，7，8，9，10，11，12