高等数学考研讲义

1第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是：①掌握求极限的各种方法．1())nnxfx2②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法．③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）．④复合函数、分段函数及函数记号的运算．§1极限的重要性质1．不等式性质设ByAxnnnnlimlim，，且A＞B，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞yn．设ByAxnnnnlimlim，，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥yn，则A≥B．作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设Axnnlim，且A＞0，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞0．设Axnnlim，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥0，则A≥0．对各种函数极限有类似的性质．例如：设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00，，且A＞B，则存在δ＞0，使得当00xx＜δ有f（x）＞g（x）．设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00，，且存在δ＞0，使得当0＜｜x－x0｜＜δ时f（x）≥g（x），则A≥B．2．有界或局部有界性性质设Axnnlim，则数列｛xn｝有界，即存在M＞0，使得｜xn｜≤M（n=1，2，3，…）．设，Axfxx)(lim0则函数f（x）在x=x0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M＞0，使得当0＜｜x－x0｜＜δ时有｜f（x）｜≤M．对其他类型的函数极限也有类似的结论．§2求极限的方法1．极限的四则运算法则及其推广设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00，，则；BAxgxfxx)]()([lim0；ABxgxfxx)()(lim0．)0()()(lim0BBAxgxfxx只要设)(glim)(lim00xxfxxxx，存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“00”，“”，“0·∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即：1°设Bxxfxxxx)(glim)(lim00，，则)]()([lim0xgxfxx.)()(lim0xgxfxx（()0gx）又B≠0，则)]()([lim0xgxfxx．2°设)(lim0xfxx，当x→x0时()gx局部有界，（即0,0M，使得00xx时()gxM），3则)]()([lim0xgxfxx．设)(lim0xfxx，当x→x0时｜g（x）｜局部有正下界，（即δ＞0，b＞0使得0＜｜x－x0｜＜δ时｜g（x）｜≥b＞0），则)]()([lim0xgxfxx．3°设)(lim0xfxx，)(lim0xgxx，则)()(lim0xgxfxx，又δ＞0使得0＜｜x－x0｜＜δ时f（x）g（x）＞0，则)]()([lim0xgxfxx．4°设0)(lim0xfxx，x→x0时g（x）局部有界，则0)()(lim0xgxfxx（无穷小量与有界变量之积为无穷小．）2．幂指函数的极限及其推广设．AxfBxgAxfBxgxxxxxx)()(lim)(lim＞0)(lim000则，000lim()ln()()()ln()ln(lim()lim)xxgxfxgxgxfxBABxxxxfxeeeA只要设00lim()lim()xxxxfxgx，存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞”，“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形．这是因为仅在这三个情况下)(ln)(lim0xfxgxx是“0·∞”型未定式．1°设)(lim0xfxx=0（0＜｜x－0x｜＜δ时f（x）＞0），0)(lim0Bxgxx，则0()0(0)lim()(0)gxxxBfxB2°设)(lim0xfxx=A＞0，A≠1，)(lim0xgxx=+∞，则0()0(01)lim()(1)gxxxAfxA3°设)(lim0xfxx=+∞，0)(lim0Bxgxx，则＞0)()＜0(0)(lim)(0BBxfxgxx【例1】设．，则，又________)(lim0)(glim)()(lim000xfxAxgxfxxxxxx【分析】．＝00))()()((lim)(lim00Axgxgxfxfxxxx4【例2】设｛an｝，｛bn｝，｛cn｝均为非负数列，且，，，nnnnnncbalim1lim0lim则必有（A）an＜bn对任意n成立．（B）bn＜cn对任意n成立．（C）极限nnncalim不存在．（D）nnncblim不存在．用相消法求00或型极限【例1】求)cos1(sin1tan1lim0xxxxIx【解】作恒等变形，分子、分母同乘得xxsin1tan10tansinlim(1cos)1tan1sinxxxIxxxxxxxxxxxxsin1tan11lim)cos1()cos1(tanlim0021211．【例2】求22411limsinxxxxIxx【解】作恒等变形，分子、分母同除)0＜(2xxx得202111414010lim1sin101xxxxIxx5利用洛必达法则求极限【例1】设f（x）在x=0有连续导数，又2)(sinlim20xxfxxIx求(0)(0)ff与．【例2】求)1ln()cos1(1cossin2lim20xxxxxx．【例3】求xxIxxe)1(lim10．【例4】求xxIxxxsineelimsin0．6【例5】若306sin()lim0xxxfxx，则__________)(6lim20xxfx．【例6】求)1ln(0)(tanlimxxxI．【例7】设＞0，≠0为常数且122lim[()]aaaxIxxx，则（，）=__________．【分析】∞－∞型极限．210121)1(lim1t]1)[(1limttxxxIaataaxttataaaat2)1(1lim1110)2＜＜0()2(21)＞2(0)1(21lim2110aaattaaat因此（，）=)212(，．分别求左、右极限的情形，分别求nnnnxx212limlim与的情形【例1】设||sine1e2)(41xxxfxx，求0lim()xfx．7【例2】求nnnIn)1(1lim利用函数极限求数列极限【例1】求)1＞(limaanInn．【例2】求21lim(tan)nnInn．【解1】)11tan(11tan12)11tan(1limnnnnnnnnI转化为求2230021tan11tan11tanlim(tan1)limlimlim1nnxxnxxxnxnnnxxn123201cos1lime33xxIx【解2】用求指数型极限的一般方法．nnnnI11tanln2elim转化为求2021tantan1lnlimlnlim1nxnxxnxn201tanlimxxxx（等价无穷小因子替换），余下同前．8§3无穷小和它的阶1．无穷小、极限、无穷大及其联系（1）无穷小与无穷大的定义（2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系0lim()()()xxfxAfxAx其中00lim()0(()(1)).xxxfxAoxx，o（1）表示无穷小量．在同一个极限过程中，u是无穷小量（u≠0）u1是无穷大量．反之若u是无穷大量，则u1是无穷小量．2．无穷小阶的概念（1）定义同一极限过程中，（x），（x）为无穷小，设0()()1()()()lim()~()()()0()()()(())()lxxlxxxlxxxlxxxox为有限数，称与为同阶无穷小时，称与为等价无穷小，记为极限过程时，是比高阶的无穷小，记为极限过程定义设在同一极限过程中（x），（x）均为无穷小，（x）为基本无穷小，若存在正数k与常数l使得0)()(limlxxk称（x）是（x）的k阶无穷小，特别有0)()(lim00lxxxkxx，称x→x0时（x）是（x－x0）的k阶无穷小．（2）重要的等价无穷小x→0时sinx~x，tanx~x，㏑（1+x）~x，ex－1~x；ax－1~xlna，arcsinx~x，arctanx~x；（1+x）a―1~ax，1―cosx~221x．（3）等价无穷小的重要性质在同一个极限过程中1°若~，~~．2°~=+o（）3°在求“00”型与“0·∞”型极限过程中等价无穷小因子可以替换【例1】求13cos21lim30xxxxI．9【例2】设__________)(lim513]2sin)(1ln[lim200xxfxxfxxx，则．【分析】由已知条件及02sin)(lim0)2sin)(1ln(lim0)13(lim000xxfxxfxxxx．又在x=0某空心邻域f（x）≠0()()()ln(1)~~(0)sin2sin22fxfxfxxxxx，又3x－1~xln3．于是22000()/2()()limlim5lim10ln3ln32ln3xxxfxxfxfxxxx．【例3】设x→a时（x），（x）分别是x－a的n阶与m阶无穷小，又0)(limAxhax，则x→a时（1）（x）h（x）是x－a的__________阶无穷小．（2）（x）（x）是x－a的__________阶无穷小．（3）n＜m时，（x）±（x）是x－a的__________阶无穷小．（4）n＞m时)()(xx是x－a的__________阶无穷小．（5）k是正整数时，k是x－a的__________阶无穷小．以上结论容易按定义证明。例如，已知0)()(limAaxxfnax，()()()()()lim0limlim0()()()()mnmnmxaxaxagxfxgxfxgxBABxaxaxaxaf（x）g（x）是x－a的n+m阶无穷小．【例4】设f（x）连续，x→a时f（x）是x－a的n阶无穷小，求证：xadttf)(是x－a的n+1阶无穷小．10【例5】x→0时，231)1(xxx是x的________阶无穷小；332xx是x的_________阶无穷小；)1ln(sin3xx是x的_________阶无穷小，xdtt02sin是x的_________阶无穷小．【例6】x→0时，下列无穷小中（）比其他三个的阶高，（A）x2（B）1－cosx（C）112x（D）x－tanx【例7】当x→0时，xdttxfsin02sin)(与43)(xxxg比较是（）的无穷小．（A）等价（B）同阶非等价（C）高阶（D）低阶§4连续性及其判断1．连续性概念（1）连续的定义：函数f（x）满足)()(lim00xfxfxx，则称f（x）在点x=x0处连续；f（x）满足00lim()()xxfxfx（或))()(lim00xfxfxx，则称f（x）在x=x0处右（或左）连续．若f（x）在（a，b）内每一点连续，则称f（x）在（a，b）内连续；若f（x）在（a，b）内连续，且在x=a处右连续，在点x=b处左连续，则称f（x）在[a，b]上连续．11（2）单双侧连续性f（