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常用数学公式汇总一、基础代数公式1.平方差公式：（a＋b）·（a－b）＝a2－b22.完全平方公式：（a±b)2＝a2±2ab＋b23.完全立方公式：（a±b)3=（a±b）(a2ab+b2)4.立方和差公式：a3+b3=(ab)(a2+ab+b2)5.mnm＋nmnm－nmnmnnnna·a＝aa÷a＝a(a)=a(ab)=a·b二、等差数列n(a1an)1；（1）sn＝2＝na1+n(n-1)d2（2）an＝a1＋（n－1）d；（3）项数n＝ana1＋1；d（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b；（5）若m+n=k+i，则：am+an=ak+ai；（6）前n个奇数：1，3，5，7，9，,（2n—1）之和为n2（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）三、等比数列（1）an＝a1qn－1；（－n）1）（2）sn＝a1·1q（q1q（3）若a,G,b成等比数列，则：G2＝ab；（4）若m+n=k+i，则：am·an=ak·ai；（5）am-an=(m-n)d（6）am＝q(m-n)an（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）第1页共12页四、不等式（1）一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中：x1=bb24ac；x2=bb24ac（b2-4ac0）2a2a根与系数的关系：x1+x2=-b，x1·x2=caa（2）ab2ab(ab)2aba2b22ab(abc)3abc23（3）a2b2c23abcabc33abc推广：x1x2x3...xnnnx1x2...xn（4）一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。（5）两项分母列项公式：b=(1—1)×bm(ma)mmaa三项分母裂项公式：m(mb2a)=[1—1]×ba)(mm(ma)(ma)(m2a)2a五、基础几何公式222为直角边，c为斜边)1.勾股定理：a+b=c(其中：a、b直角边369121551078常用勾直角边4812162012242415股数斜边510152025132625172.面积公式：正方形＝a2长方形＝ab三角形＝1ah1absinc梯形＝1(ab)h222n圆形＝2平行四边形＝ah扇形＝2R3600R3.表面积：正方体＝6a2长方体＝2(abbcac)第2页共12页圆柱体＝2πr2＋2πrh球的表面积＝4R24.体积公式正方体＝a3长方体＝abc圆柱体＝Sh＝πr2h圆锥＝1πr2h球＝4R3335.若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：S侧＝πrl；6.图形等比缩放型：一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，则：1.所有对应角度不发生变化；2.所有对应长度变为原来的m倍；23.所有对应面积变为原来的m倍；34.所有对应体积变为原来的m倍。7.几何最值型：1.平面图形中，若周长一定，越接近与圆，面积越大。2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。六、工程问题工作量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作量÷工作时间；工作时间＝工作量÷工作效率；总工作量＝各分工作量之和；注：在解决实际问题时，常设总工作量为1或最小公倍数七、几何边端问题（1）方阵问题：1.实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2=（外圈人数÷4+1）2=N2最外层人数＝（最外层每边人数－1）×42.空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2第3页共12页＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。3.N边行每边有a人，则一共有N(a-1)人。4.实心长方阵：总人数=M×N外圈人数=2M+2N-45.方阵：总人数=N2外圈人数=4N-4例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？解：（10－3）×3×4＝84（人）(2)排队型：假设队伍有N人，A排在第M位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M）人(3)爬楼型：从地面爬到第N层楼要爬（N-1）楼，从第N层爬到第M层要怕MN层。八、利润问题（1）利润＝销售价（卖出价）－成本；利润销售价－成本＝销售价利润率＝＝－1；成本成本成本销售价销售价＝成本×（1＋利润率）；成本＝。1＋利润率（2）利息＝本金×利率×时期；本金＝本利和÷（1+利率×时期）。本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×时期）=本金（1期限；利率）月利率=年利率÷12；月利率×12=年利率。例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”2400×（1+10．2％×36）=2400×1．3672=3281．28（元）九、排列组合（1）排列公式：Pnm＝n（n－1）（n－2）,（n－m＋1），（m≤n）。A73765（2）组合公式：Cnm＝Pnm÷Pmm＝（规定Cn0＝1）。c53543321（3）错位排列（装错信封）问题：D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6＝265，（4）N人排成一圈有ANN/N种；N枚珍珠串成一串有ANN/2种。第4页共12页十、年龄问题关键是年龄差不变；①几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄②几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差十一、植树问题（1）单边线形植树：棵数＝总长间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔（2）单边环形植树：棵数＝总长间隔；总长=棵数×间隔（3）单边楼间植树：棵数＝总长间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔（4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。（5）剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2N×M＋1）段十二、行程问题（1）平均速度型：平均速度＝2v1v2v1v2（2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间追及问题：追击距离=（大速度—小速度）×追及时间背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间（3）流水行船型：顺水速度＝船速＋水速；逆水速度＝船速－水速。顺流行程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间逆流行程=逆流速度×逆流时间=（船速—水速）×逆流时间（4）火车过桥型：列车在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度列车速度=（桥长+车长）÷过桥时间（5）环形运动型：反向运动：环形周长=（大速度+小速度）×相遇时间同向运动：环形周长=（大速度—小速度）×相遇时间（6）扶梯上下型：扶梯总长=人走的阶数×（1u梯），（顺行用加、逆行用减）u人（7）队伍行进型：第5页共12页对头队尾：队伍长度=（u人+u队）×时间队尾对头：队伍长度=（u人－u队）×时间（8）典型行程模型：等距离平均速度：u2u1u2（U1、U2分别代表往、返速度）u1u2等发车前后过车：核心公式：T2t1t2，u车t2t1t1t2u人t2t1等间距同向反向：t同u1u2t反u1u2不间歇多次相遇：单岸型：s3s1s2两岸型：s3s1s2（s表示2两岸距离）2t逆t顺无动力顺水漂流：漂流所需时间=t逆（其中t顺和t逆分别代表船顺溜所需时t顺间和逆流所需时间）十三、钟表问题基本常识：①钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的1，分针每小时可追及111212②时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180o22次。③钟表一圈分成12格，时针每小时转一格（00）30），分针每小时转12格（360④时针一昼夜转两圈（0），1小时转1024圈，1小时转1720圈（30）；分针一昼夜转12圈。⑤钟面上每两格之间为300，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。追及公式：TT01T0；T为追及时间，T0为静态时间（假设时针不动，分针和时针11达到条件要求的虚拟时间）。十四、容斥原理⑴两集合标准型：满足条件I的个数+满足条件II的个数—两者都满足的个数=总个数—第6页共12页两者都不满足的个数⑵三集合标准型：ABC=ABCABBCACABC⑶三集和图标标数型：利用图形配合，标数解答1.特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别2.特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形3.标数时，注意由中间向外标记⑷三集和整体重复型：假设满足三个条件的元素分别为ABC，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中：满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，可以得以下等式：①W=x+y+z②A+B+C=x+2y+3z十五、牛吃草问题核心公式：y=(N—x)T原有草量＝（牛数－每天长草量）×天数，其中：一般设每天长草量为X注意：如果草场面积有区别，如“M头牛吃W亩草时”，N用M代入，此时N代表单位W面积上的牛数。十六、弃九推断在整数范围内的+—×三种运算中，可以使用此法1.计算时，将计算过程中数字全部除以9，留其余数进行相同的计算。2.计算时如有数字不再0~8之间，通过加上或减去9或9的倍数达到0~8之间。3.将选项除以9留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。例：11338×25593的值为（）290173434以9余6。选项中只有B除以9余6.十七、乘方尾数1.底数留个位2.指数末两位除以4留余数（余数为0则看作4）例题：37244998的末尾数字（）A.2B.4C.6D.8[解析]37244998→22→4第7页共12页十八、除以“7”乘方余数核心口诀注：只对除数为7的求余数有效1.底数除以7留余数2.指数除以6留余数（余数为0则看作6）例：20072009除以7余数是多少？（）[解析]20072009→55→3125→3（3125÷7=446。。。3）十九、指数增长如果有一个量，每个周期后变为原来的A倍，那么N个周期后就是最开始的AN倍，一个周期前应该是当时的1。A二十、溶液问题⑴溶液=溶质+溶剂浓度=溶质÷溶液溶质=溶液×浓度溶液=溶质÷浓度⑵浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M、N，交换质量L后浓度都变成c%，则a%Mb%N①c%MNMN②LMN⑶混合稀释型①溶液倒出比例为a的溶液，再加入相同的溶质，则浓度为(1a)次数原浓度②溶液加入比例为a的溶剂，在倒出相同的溶液，则浓度为(1)次数原浓度1a二十一、调和平均数调和平均数公式：a2a1a2a1a2等价钱平均价格核心公式：2p1p2（P1、P2分别代表之前两种东西的价格）pp2p1第8页共12页等溶质增减溶质核心公式：2r1r3（其中r1、r2、r3分别代表连续变化的浓r2r3r1度）二十二、减半调和平均数核心公式：aa1a2a1a2二十三、余数同余问题核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期”注意：n的取值范围为整数，既可以是负值，也可以取零值。二十四、星期日期问题平年与闰年判断方法年共有天数2月天数平年不能被4整除365天28天闰年可以被4整除366天29天★星期推断：一年加1天；闰年再加1天。大月与小月包括月份月共有天数大月1、3、5、7、8、10、1231天小月2、4、6、9、1130天注意：星期每7天一循环；“隔N天”指的是“每（N+1)天”。二十五、循环周期问题核心提示：若一串事物以T为周期，且A÷T=N,a，那么第A项等同于第a项。二十六、典型数列前N项和第9页共12页4.24.34.7底数1234567891011平方149162536496481100121平方1213141516171819202122底数数144169196225256289324361400441484平方底数2324252627282930313233平方52957662567672978484190096110241089立方底数1234567891011数立方18276412521634351272910001331次方1234567891011224816326412825651210242048多次39278