新湘教版八年级数学下册1.4.1角平分线的性质(1)

第1章直角三角形1.4角平分线的性质第1课时角平分线的性质（1）湘教版八年级数学下册1.点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。PABOPO的长度说一说如图，线段PO的长度叫点P到直线AB的距离。2.角平分线的定义：从角的顶点出发引出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。如图，射线OC∠AOB的平分线。oBCA12AOBC如图，在纸上画一个角∠AOB，（1）用折叠法画出∠AOB的平分线；（2）在∠AOB的平分线OC上任取一点P，过点P作PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D,E，试问PD与PE相等吗？P∟E将∠AOB沿OC对折，PD与PE会重合，即PD=PE你能证明吗？AOBCP∟E证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中∴PD=PE∴△PDO≌△PEO（AAS）∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP角的平分线上的点到角的两边的距离相等.由此得到角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.用符号语言表示为：∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.PAOBCED12角平分线的性质定理推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。结论定理的作用：证明线段相等如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，若PD=PE.那么点P在∠AOB的平分线上吗？OEBADP分析：只要画射线OP，证明OP平分∠AOB即可。动脑筋角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？C证明：过点O,P作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中∴OC是∠AOB的平分线，PD=PE,OP=OP.∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）OEBADPC∴∠AOC=∠BOC即点P∠AOB的平分线OC上。角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.由此得到角平分线的性质定理的逆定理：用几何语言表示为：∵PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB∴∠1=∠2.即点P∠AOB的平分线OC上。PAOBCED12角平分线的性质定理的逆定理推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。结论角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.定理的作用：证明点的位置判定定理性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。ABOPDE12如图，PD⊥OA，PE⊥OB点P在∠AOB的平分线上PD=PE例1如图，∠BAD=∠BCD=900，∠1=∠2（1）求证:点B在∠ADC的平分线上；（2）求证:BD是∠ABC的平分线。ADBC思考：AC被BD垂直平分吗？证明(1)在△ABC中，∵∠1=∠2∴BA=BC.又∵BA⊥AD,BC⊥CD,∴点B在∠ADC的平分线上.(2)在Rt△BAD和Rt△BCD中，∵BA=BC，BD=BD;∴Rt△BAD≌Rt△BCD(HL)∴∠ABD=∠CBD.∴BD是∠ABC的平分线.练习1.如图，在直线MN上求作一点P，使P点到∠AOB两边的距离相等OABMN证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠BED=∠CFD=90º∵AD平分∠BAC，∴DE=DF(角平分线上的点到两边的距离相等)又∵在Rt△BDE和Rt△CDF中BD=CDDE=DF∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴∠B=∠C,∴AB=AC2.如图,在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E,F,BD=CD.求证:AB=AC.1.如左下图,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E，F，DE=DF,∠EDB=60°,则∠EBF=度，BE=。60BFABCDEF随堂练习C12ABED2.如图,△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB,∠1=∠2,且AC=6cm,那么线段BE是∠ABC的，AE+DE=.角平分线6cm驶向胜利的彼岸3.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角平分线,它们有什么关系?老师期望:你能说出结论并能证明它.EDABCF4.如图：在Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，BD=5，BC=4，则点D到AB的距离是______.DBAC3OAB.C.D5.在V型公路（∠AOB）内部，有两个村庄C、D。你能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？课堂小结角平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质定理：角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.拓展