高等数学下册黄立宏黄云清答案详解

194习题九答案1.求函数u=xy2+z3-xyz在点（1，1,2）处沿方向角为πππ,,343的方向导数。解：(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)coscoscosuuuuylxz22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππcoscoscos5.(2)()(3)343xyxzyyzzxy2.求函数u=xyz在点（5,1,2）处沿从点A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向导数。解：{4,3,12},13.ABABAB的方向余弦为4312cos,cos,cos131313(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105uyzxuxzyuxyz故4312982105.13131313ul3.求函数22221xyzab在点,22ab处沿曲线22221xyab在这点的内法线方向的方向导数。解：设x轴正向到椭圆内法线方向l的转角为φ，它是第三象限的角，因为2222220,xybxyyabay所以在点,22ab处切线斜率为2,2222.2ababbybaa法线斜率为cosab.于是2222tan,sinbaabab195∵2222,,zzxyxayb∴22,222222222212().22abbazabablabababab4.研究下列函数的极值：(1)z=x3+y3－3(x2+y2);(2)z=e2x(x+y2+2y);(3)z=(6x－x2)(4y－y2);(4)z=(x2+y2)22()exy;(5)z=xy(a－x－y),a≠0.解：（1）解方程组22360360xyzxxzyy得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).zxx=6x－6,zxy=0,zyy=6y－6在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－360，且A0,所以函数有极大值z(0,0)=0.在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=360，所以(0,2)点不是极值点.在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=360，所以(2,0)点不是极值点.在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－360，且A0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.(2)解方程组222e(2241)02e(1)0xxxyzxyyzy得驻点为1,12.22224e(21)4e(1)2exxxxxyxyyzxyyzyz在点1,12处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e20,又A0,所以函数有极小值e1,122z.(3)解方程组22(62)(4)0(6)(42)0xyzxyyzxxy得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Zxx=－2(4y-y2),Zxy=4(3－x)(2－y)Zyy=－2(6x－x2)在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×180,且A0，所以函数有极大值z(3,2)=36.在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC0，所以(0,0)点不是极值点.在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC0，所以(0,4)不是极值点.196在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC0，所以(6,0)不是极值点.在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC0，所以(6,4)不是极值点.(4)解方程组2222()22()222e(1)02e(1)0xyxyxxyyxy得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，在点P0处有z=0，而当（x,y）≠(0,0)时，恒有z0，故函数z在点P0处取得极小值z=0.再讨论函数z=ue-u由de(1)duzuu，令d0dzu得u=1,当u1时，d0dzu；当u1时，d0dzu,由此可知，在满足x02+y02=1的点（x0,y0）的邻域内，不论是x2+y21或x2+y21,均有2222()1()eexyzxy.故函数z在点（x0,y0）取得极大值z=e-1(5)解方程组(2)0(2)0xyzyaxyzxayx得驻点为12(0,0),,33aaPPzxx=-2y,zxy=a-2x-2y,zyy=-2x.故z的黑塞矩阵为222222yaxyHaxyx于是122033(),().0233aaaHPHPaaa易知H（P1）不定，故P1不是z的极值点，H（P2）当a0时正定，故此时P2是z的极小值点，且3,2733aaaz,H（P2）当a0时负定，故此时P2是z的极大值点，且3,2733aaaz.5.设2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0，确定函数z=z(x,y)，研究其极值。解：由已知方程分别对x,y求导，解得484,281281zxzzyxzxyzx197令0,0,zzxy解得0,2xyz,将它们代入原方程，解得162,7xx.从而得驻点16(2,0),,07.22222222(281)(48)4828(281)428,(281)4(281)8.(281)zzzxxzzxxxzxzyzxxyzxzzxzyyzx在点（-2，0）处，441,,0,,1515ZABCB2-AC0，因此函数有极小值z=1.在点16,07处，82828,,0,,7105105ZABCB2-AC0，函数有极大值87z.6.在平面xOy上求一点，使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线距离的平方之和为最小。解：设所求点为P(x,y)，P点到x=0的距离为|x|,到y=0的距离为|y|，到直线x+2y-16=0的距离为22216216.512xyxy距离的平方和为2221(216)5zxyxy由22(216)0542(216)05zxxyxzyxyy得唯一驻点816,55,因实际问题存在最小值，故点816,55即为所求。7.求旋转抛物面z=x2+y2与平面x+y-z=1之间的最短距离。解：设P（x,y,z）为抛物面上任一点.则点P到平面的距离的平方为2(1)3xyzd,即198求其在条件z=x2+y2下的最值。设F（x,y,z）=222(1)()3xyzzxy解方程组222(1)2032(1)2032(1)03xyzxyzFxxyzFyxyzFzxy得12xyz故所求最短距离为132.63d8.抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上的点为P（x,y,z），则|OP|2=x2+y2+z2.因P点在抛物面及平面上，所以约束条件为z=x2+y2，x+y+z=1设F（x,y,z）=x2+y2+z2+λ1(z-x2-y2)+λ2(x+y+z-1)解方程组12121222220220201xyzFxxFyyFzzxyxyz得13,232xyz由题意知，距离|OP|有最大值和最小值，且22222132953232xyzOP.所以原点到椭圆的最长距离是953，最短距离是953.9.在第I卦限内作椭球面2222221xyzabc的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。199解：令222222(,,)1xyzFxyzabc∵222222,,,xyzxyzFFFabc∴椭球面上任一点0000(,,)Pxyz的切平面方程为000000222222()()()0.xyzxxyyzzabc即0002221.xxyyzzabc切平面在三个坐标轴上的截距分别为222000,,abcxyz，因此切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为222222000000166abcabcVxyzxyz即求2226abcVxyz在约束条件2222221xyzabc下的最小值，也即求xyz的最大值问题。设222222(,,)1xyzxyzxyzabc,解方程组22222222220,20,20,1.xyzxyzaxxzbxxycxyzabc得,,333abcxyz.故切点为,,333abc，此时最小体积为2223.26333abcVabcabc*10.设空间有n个点，坐标为(,,)(1,2,,)iiixyzin,试在xOy面上找一点，使此点与这n200个点的距离的平方和最小。解：设所求点为P（x,y,0），则此点与n个点的距离的平方和为222222111222222221212222222222121212()()()()()()2()2()()()()nnnnnnnnSxxyyzxxyyzxxyyznxxxxxnyyyyyxxxyyyzzz解方程组121222()022()0xnynSnxxxxSnyyyy得驻点1212nnxxxxnyyyyn又在点1111,nniiiixynn处Sxx=2n=A,Sxy=0=B,Syy=2n=CB2-AC=-4n20,且A0取得最小值.故在点1111,nniiiixynn处，S取得最小值.即所求点为1111,,0nniiiixynn.11.已知平面上分别带有质量m1,m2,m3的三个质点111222333(,),(,),(,)pxypxypxy，问点(,)pxy的位置如何才能使该质点系对于p点的转动惯量为最小。解：该质点系对于p点的转动惯量为222222123223311()()Immmxxyyxxyyxxyy1231122331231122332()22202()2220xyImmmxmxmxmxImmmymymymy解上式得驻点112233112233123123,mxmxmxmymymypmmmmmm因驻点唯一，故转动惯量在112233112233123123,mxmxmxmymymypmmmmmm点处取得最小值.201*12.已知过去几年产量和利润的数据如下：产量x(千件)4047557090100利润y(千元)323443547285试求产量和利润的函数关系，并预测当产量达到120千件时工厂的利润。解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f(x)=ax+b，求621()iiiuyaxb的最小值，即求解方程组6