现代控制理论讲义整理

控制系统的状态空间分析与综合2引论经典控制理论:数学模型:线性定常高阶微分方程和传递函数;分析方法:时域法(低阶1～3阶)根轨迹法频域法适应领域:单输入－单输出（SISO）线性定常系统缺点:只能反映输入－输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构和运行状态。现代控制理论：数学模型:以一阶微分方程组成差分方程组表示的动态方程分析方法:精准的时域分析法适应领域：（1）多输入－多输出系统（MIMO、SISO、MISO、SIMO）（2）非线性系统（3）时变系统优越性：（1）能描述系统内部的运行状态（2）便于考虑初始条件（与传递函数比较）（3）适用于多变量、非线性、时变等复杂大型控制系统（4）便于计算机分析与计算（5）便于性能的最优化设计与控制内容：线性系统理论、最优控制、最优估计、系统辨识、自适应控制近似分析3第一章控制系统的状态空间描述第二章线性系统的运动分析第三章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析第四章线性系统的可控性和可观测性第五章线性系统非奇异线性变换及系统的规范分解第六章线性定常控制系统的综合分析41.1系统数学描述的两种基本方法1.2状态空间描述常用的基本概念1.3系统的传递函数矩阵1.4线性定常系统动态方程的建立第一章控制系统的状态空间5典型控制系统方框图执行器被控对象传感器控制器控制输入观测y控制u被控过程x反馈控制被控过程puuu21nxxx,,21qyyy211.1系统数学描述的两种基本方法6典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。被控过程具有若干输入端和输出端。数学描述方法：输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、传递函数矩阵。状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结构，是对系统的一种完整的描述。71)输入：外部对系统的作用（激励）；控制：人为施加的激励；输入分控制与干扰。1)输出：系统的被控量或从外部测量到的系统信息。若输出是由传感器测量得到的，又称为观测。2)状态、状态变量和状态向量：能完整描述和唯一确定系统时域行为或运行过程的一组独立（数目最小）的变量称为系统的状态；其中的各个变量称为状态变量。当状态表示成以各状态变量为分量组成的向量时，称为状态向量。3)状态空间：以状态向量的各个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。4)状态轨线：系统在某个时刻的状态，在状态空间可以看作是一个点。随着时间的推移，系统状态不断变化，并在状态空间中描述出一条轨迹，这种轨迹称为状态轨线或状态轨迹。5)状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分或差分方程称为系统的状态方程，它不含输入的微积分项。一般情况下，状态方程既是非线性的，又是时变的，可以表示为6)输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，当输出由传感器得到时，又称为观测方程。输出方程的一般形式为7)动态方程：状态方程与输出方程的组合称为动态方程，又称为状态空间表达式。一般形式为()(),(),xtfxtutt()(),(),ytgxtutt1.2状态空间描述常用的基本概念8或离散形式()(),(),()(),(),xtfxtuttytgxtutt1()(),(),()(),(),kkkkkkkkxtfxtuttytgxtutt9)线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分或差分方程，输出方程是向量代数方程。线性连续时间系统动态方程的一般形式为10)线性定常系统：线性系统的A，B，C，D或G，H，C，D中的各元素全部是常数。即()()()()()y(t)C(t)x(t)D(t)u(t)xtAtxtBtut(t)Ax(t)Bu(t)y(t)Cx(t)Du(t)x或离散形式(1)()()()()()xkGxkHukykCxkDukAxBuyCxDux若有9分别写出状态矩阵A、控制矩阵B、输出矩阵C、前馈矩阵D:已知：nxxxx21puuuu21qyyyy21nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211npnnppbbbbbbbbbB212222111211qnqqnncccccccccC212222111211111212122212ppqqqpddddddDddd为书写方便，常把连续系统和离散系统分别简记为S(A,B,C,D)和S(G,H,C,D)。11)线性系统的结构图：线性系统的动态方程常用结构图表示。nn图中，I为()单位矩阵，s是拉普拉斯算子，z为单位延时算子。10讨论：1、状态变量的独立性。2、由于状态变量的选取不是唯一的，因此状态方程、输出方程、动态方程也都不是唯一的。但是，用独立变量所描述的系统的维数应该是唯一的，与状态变量的选取方法无关。3、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。例1－1试确定图8-5中（a）、（b）所示电路的独立状态变量。图中u、i分别是是输入电压和输入电流，y为输出电压，xi为电容器电压或电感器电流。x3x3解并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。对图8-5（a），不失一般性，假定电容器初始电压值均为0，有11因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。对图（b）x1=x2，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的，即（x1和x3）或(x2和x3)，可以任用其中一组变量如（x2，x3）作为状态变量。13232xcccx13223xcccx12令初始条件为零，对线性定常系统的动态方程进行拉氏变换，可以得到11()()()()[()]()XssIABUsYsCsIABDUs系统的传递函数矩阵（简称传递矩阵）定义为DBAsICsG1)()(例1-2已知系统动态方程为2121212121100110012010xxyyuuxxxx试求系统的传递函数矩阵。解已知0,1001,1001,2010DCBA故210)2(11201)(11ssssssAsI210)2(111001210)2(111001)(1ssssssssBAsI1.3系统的传递函数矩阵131.4.1由物理模型建动态方程根据系统物理模型建立动态方程1.4线性定常系统动态方程的建立RLC电路例1-3试列写如图所示RLC的电路方程，选择几组状态变量并建立相应的动态方程，并就所选状态变量间的关系进行讨论。解有明确物理意义的常用变量主要有：电流、电阻器电压、电容器的电压与电荷、电感器的电压与磁通。根据独立性要求，电阻器的电压与电流、电容器的电压与电荷、电感器的电流与磁通这三组变量不能选作为系统的状态。根据回路电压定律eidtCdtdiLRi1电路输出量y为1cyeidtC1)设状态变量为电感器电流和电容器电压，即则状态方程为ix1idtCx12eLxLxLRx11211121xCx输出方程为2xy14其向量-矩阵形式为2121211001011xxyeLxxCLCRxx简记为cxybeAxx式中，10,01,011,,2121cLbCLCRAxxxxxx2)设状态变量为电容器电流和电荷，即则有idtxix21,21212110,01011xxCyeLxxLCLRxx3)设状态变量（无明确意义的物理量），可以推出idtCxRiidtCx1,1211x)()(112121exLRxxRCdtdiRxx2212)(11xyxxRCiCx15其向量-矩阵形式为2121211001111xxyLRxxRCRCRCLRRCxx可见对同一系统，状态变量的选择不具有唯一性，动态方程也不是唯一的。例1-4由质量块、弹簧、阻尼器组成的双输入三输出机械位移系统如图所示，具有力F和阻尼器气缸速度V两种外作用，输出量为质量块的位移，速度和加速度。试列写该系统的动态方程。分别为质量、弹簧刚度、阻尼系数；x为质量块位移。双输入－三输出机械位移系统解根据牛顿力学可知，系统所受外力F与惯性力m、阻尼力f(－V)和弹簧恢复力构成平衡关系，系统微分方程如下:这是一个二阶系统，若已知质量块的初始位移和初始速度，系统在输入作用下的解便可唯一确定，故选择质量块的位移和速度作为状态变量。设。由题意知系统有三个输出量，设xxkxFkxVxfxm)(fk,m,xxxx21,xyxxyxxy32211,,16于是由系统微分方程可以导出系统状态方程FkxVxfmxxxx12221)(1其向量-矩阵形式为VFmfmxxmfmkxx10010212111223100001001yxFyxVkffymmmm1.4.2由高阶微分方程建动态方程1)微分方程不含输入量的导数项：uyayayayaynnnnn001)2(2)1(1)(选n个状态变量为有)1(21,,,nnyxyxyx11211013232xyuxaxaxaxxxxxxxnnnnn得到动态方程cxybuAxx17式中121012100100000100,,,10000010nnnxxxAbcxxaaaa系统的状态变量图2)微分方程输入量中含有导数项：ubububuyayayaynnnnnn01)1(1)(01)1(1)(一般输入导数项的次数小于或等于系统的阶数n。首先研究情况，为了避免在状态方程中出现输入导数项，可按如下规则选择一组状态变量，设例1－518其展开式为niuhxxuhyxiii,,3,21101uhuhuhyuhxxuhuhuhyuhxxuhuhyuhxxuhyxnnnnnnn1)2(1)1(0)1(112102231011201式中，是n个待定常数。是n个。110,,,nhhh由上式的第一个方程可得输出方程是n个。uhxy01其余（n－１）个状态方程如下n个。uhxxuhxxuhxxnnn11232121＃对＃式求导，有：()()(1)011(1)()()(1)11000011()nnnnnnnnnnnxyhuhuhuayayaybubuhuhuhu