初三数学竞赛试题-------2014年12月

第1页共4页GBDACE初三数学竞赛试题2014年12月15日一、细心填一填（每小题3分，满分30分）1.若代数式1xx有意义，则实数x的取值范围是______________.2.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为____________。3.正方形对角线BD长为10，BG是∠DBC的角平分线，点E是BC边上的动点，在BG上找一点F，使CF+EF的值最小，则EF=。4.如果a，b，c是正数，且满足9abc，111109abbcca，那么abcbccaab的值为．5.如图，菱形ABCD中，=60DAB，DFAB于点E，且DFDC，连接FC，则ACF的度数为_________度．6.若关于x的方程(1)5321mxmx无解，则m的值为________________7．当322x时，化简231231xxxx8.有一油罐，其直径为6米，高为8米，如图，将一长为12米的金属棒插入油罐中，使金属棒的一端与油罐底部接触，假如金属棒露在外面的长为h米，试问h的取值范围是.9.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了___________支圆珠笔．10.我们知道，一元二次方程12x没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数“i”，使其满足12i(即方程12x有一个根为i)，并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有,1ii12i，,).1(23iiiii.1)1()(2224ii从而对任意正整数n，则6i-1;由于,.)(.4414iiiiiinnn同理可得,1,,143424nnniiii那么，20132012432iiiiii的值为________________二、精心选一选（每小题3分，满分30分）11.已知0xy，化简二次根式2yxx的正确结果为（）A.yB.yC.yD.y12.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（）A．11B．12C．13D．1413.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3B．4C．6D．814.设a、b为有理数，且满足等式a+b3=6⋅1+4+23，则a+b的值为()A.2B.4C.6D.8h8题第2页共4页15.A地在河的上游，B地在河的下游，若船从A地开往B地速度为v1，从B地返回A地的速度为v2，则A、B两地间往返一次的平均速度为（）A．221vvB．21212vvvvC．212vvD．21212vvvv16设[]t表示不超过实数t的最大整数，令{}[]ttt.已知实数x满足33118xx，则1{}{}xx（）A．12B．35C．1(35)2D．117.当0x1时，x2，x，1x的大小关系是（）A、x2＜x＜1xB、1x＜x2＜xC、x＜1x＜x2D、x＜x2＜1x18.已知四边形的四条边的长分别是m、n、p、q，且满足m2+n2+p2+q2=2mn+2pq.则这个四边形是()(A)平行四边形(B)对角线互相垂直的四边形(C)平行四边形或对角线互相垂直的四边形(D)对角线相等的四边形19.如图，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连CE、AF，设CE、AF相交于G，则SBEGF四边形∶SABCD四边形等于（）A．41B．92C．61D．10320、如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（）A．B．C．D．5三、用心做一做（共60分）21．（本小题满分6分）已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm．第三边上的高为10cm，求此三角形的面积22．（本小题满分5分）化简224421xxxx23.（本小题满分6分）试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由24.（本小题满分7分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.①A城是否受到这次台风的影响？为什么？CFBEAG（第19题图）D第3页共4页②A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？25、（本小题满分7分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，∠ADE=∠CDF．（1）求证：AE=CF；（2）连结DB交CF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连结EG、FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．26.（本小题满分8分）如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.(1)求证：DE－BF＝EF．(2)若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．东北FEAB24题图图第4页共4页27.（本小题满分10分）某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).(1)扶梯在外面的部分有多少级.(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶?28.(本小题满分10分)如图，矩形ABCD中，ABAD2，E是AD边上一点，ADnDE1（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG.（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；（2）当aAB（a为常数），3n时，求FG的长；（3）记四边形BFEG的面积为1S，矩形ABCD的面积为2S，当301721SS时，求n的值.（直接写出结果，不必写出解答过程）BCAFEDGO第5页共4页初三数学竞赛试题参考答案一、细心填一填（每小题3分，满分30分）1.x≥0,且1x2.12或7＋73.5√2-5．4.75.15o6.6或107．28．2米≤h≤4米9.20710.i二、精心选一选（每小题3分，满分30分）11.D12.B13.C14.B15.B16.D17.A18.B19.C20.A三、用心做一做（共60分）21．（本小题满分6分）设AB=30cm，AC=20cm，AD=10cm，由题意作图，有两种情况：第一种：如图①，在Rt△ABD中，利用勾股定理BD==cm，同理求出CD=10cm，则三角形面积=BC•AD=（10+20）×10=（100）cm2第二种：如图②，在Rt△ABD中，BD===20cm在Rt△ACD中，CD===10cm则BC=cm所以三角形面积=BC•AD=（20-10）×10=cm2所以22．（本小题满分5分）解:原式=|x-2|+|x+1|故可把全体实数x分为三个部分：①x＜－1，②－1≤x＜2，③x≥2．所以①2-x+(-1-x)=1-2x，或②，2-X+X+1=3或③．X-2+x+1=2x-1(x＜－1)(－1≤x＜2)（x≥2）23.（本小题满分6分）解：解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9，∴632000＋1472002的和个位数是0，∴632000＋1472002的和能被10整除。24.（本小题满分7分）解:（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有第6页共4页AG=200千米．因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因为AC⊥BF，所以AC是BF的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD===120千米，则DG=2DC=240千米，遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时25.（本小题满分8分）解:（1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF；（2）四边形DEGF是菱形．理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，∵AE=CF，∴AB﹣AE=BC﹣CF，即BE=BF，∵△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴BD垂直平分EF，又∵OG=OD，∴四边形DEGF是菱形．26.（本小题满分8分）1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE，∴△ABF≌△DAE，∴BF=AE，AF=DE，∴DE-BF=AF-AE=EF．2）2）【解析】如图，DE+BF=EF．27.（本小题满分10分）解解:(1)设女孩速度为x级/分,电梯速度为y级/分,楼梯(扶梯)为s级,则男孩速度为x2级/分,依题意有.1818,27227ysxysx①把方程组①中的两式相除,得182743ss,解得54s.因此楼梯有54级.(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m次,走过楼梯n次,则这时女孩走过扶梯1m次,走过楼梯1n次.将54s代入方程组①,得xy2,即男孩乘扶梯上楼的速度为x4级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为x3级/分.于是有.1543154254454xnxmxnxm从而113124nmnm,即166mn.无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,nm,中必有一个为正第7页共4页整数，且10nm，经试验知只有612,3nm符合要求.这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：19854612273(级).28．(本题10分)解：解：（1）∵AD∥BC，∴∠EFO=∠BGO，∵FG为BE的垂直平分线，∴BO=OE；∵在△EFO和△CBO中，，∴△EFO≌△CBO，∴EF=BG，∵AD∥BC，∴四边形BGEF为平行四边形；∵在△BOF和△EOF中，，∴△BOF≌△EOF，∴EF=BF，邻边相等的平行四边形为菱形，故四边形BGEF为菱形．（2）当AB=a，n=3时，AD=2a，AE=，根据勾股定理可以计算BE=，∵AF=AE﹣EF=AE﹣BF，在Rt△ABF中AB2+AF2=BF2，计算可得AF=，EF=，∵菱形BGEF面积=BE•FG=EF•AB，计算可得FG=．（3）设AB=x，则DE=，当=时，=，可得BG=，在Rt△ABF中AB2+AF2=BF2，计算可得AF=，∴AE=AF+FE=AF+BG=，DE=AD﹣AE=，∴n=6．