搜索
3.1不等关系与不等式不等关系与不等式[提出问题]在日常生活中，我们经常看到下列标志：问题1：你知道各图中的标志有何作用吗？其含义是什么？提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；②限制重量：装载总重量G不得超过10t；③限制高度：装载高度h不得超过3.5m；④限制宽度：装载宽度a不得超过3m；⑤时间范围：t∈[7.5,10]．问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.[导入新知]不等式的概念我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”连接或，以表示它们之间的不等关系．含有这些的式子叫做不等式．两个数两个代数式不等号[化解疑难]1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不多于，不超过符号语言＞＜≥≤两实数大小的比较[提出问题]实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．问题1：怎样判断两个实数a，b的大小？提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则ab；若a－b是零，则a＝b.问题2：你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法？提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小．[导入新知]比较两个实数a，b大小的依据文字语言符号表示如果a＞b，那么a－b是正数；如果a＜b，那么a－b是负数；如果a＝b，那么a－b等于0，反之亦然ab⇔a－b0ab⇔a－b0a＝b⇔a－b＝0[化解疑难]1．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出．2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来就是实数的运算性质与大小顺序之间的关系．不等式的基本性质[提出问题]问题1：若ab，bc，则ac，对吗？为什么？提示：正确．∵ab，bc，∴a－b0，b－c0.∴(a－b)＋(b－c)0，即a－c0.∴ac.问题2：若a＞b，则a＋c＞b＋c，对吗？为什么？提示：正确．∵a＞b，∴a－b＞0，∴a＋c－b－c＞0，即a＋c＞b＋c.问题3：若a＞b，则ac＞bc，对吗？试举例说明．提示：不一定正确．若a＝2，b＝1，c＝2时正确．c＝－2时不正确．[导入新知]不等式的性质(1)对称性：ab⇔ba；(2)传递性：ab，bc⇒ac；(3)可加性：ab⇒a＋cb＋c.推论(同向可加性)：abcd⇒a＋cb＋d.(4)可乘性：abc0⇒acbc；abc0⇒acbc.推论(同向同正可乘性)：ab0cd0⇒acbd.(5)正数乘方性：ab0⇒anbn(n∈N*，n≥1)．(6)正数开方性：ab0⇒nanb(n∈N*，n≥2)．[化解疑难]1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．[例1]某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．用不等式(组)表示不等关系[解]设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．由题意得x＋y≤9，10×6x＋6×8y≥360，0≤x≤4，0≤y≤7，x∈N，y∈N，即x＋y≤9，5x＋4y≥30，0≤x≤4，0≤y≤7，x∈N，y∈N.[类题通法]用不等式表示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．[活学活用]用不等式(组)表示下列问题中的不等关系：(1)限速80km/h的路标；(2)桥头上限重10吨的标志；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不多于2.5%，蛋白质的含量p不少于2.3%.解：(1)设汽车行驶的速度为vkm/h，则v≤80.(2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.(3)f≤2.5%，p≥2.3%.比较两数(式)的大小[例2]比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x2＋3与2x；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．[解](1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝x－12＋2≥2＞0，∴x2＋3＞2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴(a－b)2＞0，a＋b＞0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2.[类题通法]比较两个代数式大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程是作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．[活学活用]试判断下列各对整式的大小：(1)m2－2m＋5与－2m＋5；(2)x3＋6x与x2＋6.解：(1)(m2－2m＋5)－(－2m＋5)＝m2－2m＋5＋2m－5＝m2.∵m2≥0，∴(m2－2m＋5)－(－2m＋5)≥0，∴m2－2m＋5≥－2m＋5.(2)(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)．∵x2＋6＞0，∴当x＞1时，(x－1)(x2＋6)＞0，即x3＋6x＞x2＋6.当x＝1时，(x－1)(x2＋6)＝0，即x3＋6x＝x2＋6.当x＜1时，(x－1)(x2＋6)＜0，即x3＋6x＜x2＋6.不等式的性质[例3]已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：ea－c＞eb－d.证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，即a－c＞b－d＞0，∴0＜1a－c＜1b－d.又∵e＜0，∴ea－c＞eb－d.[类题通法]利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.[活学活用]已知a＞b，m＞n，p＞0，求证：n－ap＜m－bp.证明：∵a＞b，又p＞0，∴ap＞bp.∴－ap＜－bp.又∵m＞n，即n＜m.∴n－ap＜m－bp.[典例]已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．4.探究利用不等式性质求取值范围[解]∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24.∴8＜2a＋3b＜32.∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，即－7＜a－b＜2.故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．【探究一】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向不等式的两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【探究二】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．在本例条件下，求ab的取值范围．[解]∵2＜b＜8，∴18＜1b＜12，而1＜a＜4，∴1×18＜a·1b＜4×12，即18＜ab＜2.故ab的取值范围是18，2.【探究三】不等式两边同乘一个正数，不等号方向不变；同乘一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．例：已知－6＜a＜8,2＜b＜3，求ab的取值范围．[解]∵－6＜a＜8,2＜b＜3，∴13＜1b＜12.①当0≤a＜8时，0≤ab＜4；②当－6＜a＜0时，－3＜ab＜0.由①②得：－3＜ab＜4.【探究四】利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数．例：已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．[解]设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，解得λ1＝53，λ2＝－23.又－53≤53(a＋b)≤53，－2≤－23(a－2b)≤－23，所以－113≤a＋3b≤1.(注：本题可以利用本章第三节内容求解)[随堂即时演练]1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是()A．5x＋4y＜200B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200D．5x＋4y≤200解析：据题意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200，故选D.答案：D2．(四川高考)若ab0，c＜d＜0，则一定有()A.adbcB.adbcC.acbdD.acbd解析：∵c＜d＜0，∴1d＜1c＜0，∴－1d＞－1c＞0，而a＞b＞0，∴－ad＞－bc＞0，∴ad＜bc，故选B.答案：B3．比较大小：x2－x________x－2.解析：(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋10，即x2－xx－2.答案：4．若－10＜a＜b＜8，则|a|＋b的取值范围是________．解析：∵－10＜a＜8，∴0≤|a|＜10，又－10＜b＜8，∴－10＜|a|＋b＜18.答案：(－10,18)5．(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；(2)若－1＜a＜b＜0，试比较1a，1b，a2，b2的大小．解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．∵x≤1，∴x－1≤0.又3x2＋1＞0，∴(x－1)(3x2＋1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.(2)∵－1＜a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴a2＞b2＞0.∵a＜b＜0，∴a·1ab＜b·1ab＜0，即0＞1a＞1b，∴a2＞b2＞1a＞1b.课时跟踪检测见课时达标检测(十四)