数学文化十

11112开篇：微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它外于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具。遗憾的是，微积分的数学方法有时流于机械，不能体现出这门学科乃是撼人心灵的智力奋斗的结晶；这种奋斗已经经历了两千五百多年之久，它深深根扎于人类活动的许多领域，并且，只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已。R.柯朗23开篇：课本的字斟句酌的叙述，未能表现出创造过程中的斗争、挫折，以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。学生一旦认识到这一点，他将不仅获得真知灼见，还将获得顽强地追究他所攻问题的勇气，并且不会因为他自己的工作并非完美无缺而感到沮丧。实在说，叙述数学家如何跌交，如何在迷雾中摸索前进，并且如何零零碎碎地得到他们的成果，应能使搞研究工作的任一新手鼓起勇气。M.克莱因34开篇：学习微积分概念的发展将使我们受益良多。17世纪是由中世纪向新时代过渡的时期。资本主义开始发展，科学技术出现创新，天文学、光学、造船、机器制作、建筑以及军事问题，促进了力学的发展，从而也对数学提出了新的要求。运动和变量是研究的关键，无穷是核心问题。微分和积分是分相互独立地发展起来的，最后由牛顿和莱布尼兹建立了它们之间的联系，完成了微积分的创立。45开篇：微积分的创立是为了解决以下四类问题：运动问题切线问题极值问题求积问题56§12.1积分学的早期史：12.1.1欧多克索斯的穷竭法古希腊巧辩家安提丰(约公元前500年)提出圆面积由内接多边形逼近。欧多克索斯(Eudoxus公元前400-公元前350年)假定量是无限可分的，并以下述命题为基础：712.1.1欧多克索斯的穷竭法：命题1如果从任一量中减去不小于它的一半的部分，从余量中再减去不小于它的一半的另一部分，如此继续下去，则最后留下一个小于任何给定的同类量的量。命题2圆的内接相似正多边形面积之比等于圆的直径的平方之比。命题3圆与圆的面积之比等于其直径平方之比。812.1.1欧多克索斯的穷竭法：欧多克索斯还证明了棱锥体积是同底同高的棱柱体积的三分之一,以及圆锥体积是同底同高的圆柱体积的三分之一。但他没有明确的极限思想。912.1.2阿基米德的平衡法：阿基米德(Archimedes，约公元前287～212)古希腊物理学家、数学家，静力学和流体静力学的奠基人。除了牛顿和爱因斯坦，再没有一个人象阿基米德那样为人类的进步做出过这样大的贡献。即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他身上汲取过智慧和灵感。他是“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”，文艺复兴时期的达芬奇和伽利略等人都拿他来做自己的楷模。10在阿基米德《论球和柱体》一书中，第一次出现了球和球冠的表面积，球和球缺的体积的正确公式。命题１圆面积是圆周长与其半径之积的一半．命题２半径为r的球的体积是12.1.2阿基米德的平衡法：343vr11TNSABxrxr22()2rxrxrx图12-21222222*222xrrrxxxxxxxxxxxx3利用杠杆平衡原理证明球体积=4/3r把球的直径放在轴上，同时用的矩形和底和高都为的三角形绕轴旋转，得到一个圆柱体和一个圆锥体。然后从这三个立体上切下与N的距离为，厚为的竖立的薄片，这些薄片的体积近似为球体：（r-）圆柱体：r圆锥体：取出球体和圆锥体的薄片，把它们的质心吊在点T（TN=2r)这两个薄片绕N的合成力矩为[（r-）23243]xxxx22r=4r恰好为圆柱体割出的薄片处于原来位置时绕N的力矩的四倍。把所有这样割出的薄片绕N的力矩加在一起，得到2r（球的体积+圆锥的体积）=4r（圆柱的体积）即2r（球的体积+8r/3）=4r*2r*r=8r即得：球的体积=4r/3命题2的证明13命题2的证明22222*222xrrrxxxxxxxxxxxx3利用杠杆平衡原理证明球体积=4/3r把球的直径放在轴上，同时用的矩形和底和高都为的三角形绕轴旋转，得到一个圆柱体和一个圆锥体。然后从这三个立体上切下与N的距离为，厚为的竖立的薄片，这些薄片的体积近似为球体：（r-）圆柱体：r圆锥体：取出球体和圆锥体的薄片，把它们的质心吊在点T（TN=2r)这两个薄片绕N的合成力矩为[（r-）23243]xxxx22r=4r恰好为圆柱体割出的薄片处于原来位置时绕N的力矩的四倍。把所有这样割出的薄片绕N的力矩加在一起，得到2r（球的体积+圆锥的体积）=4r（圆柱的体积）即2r（球的体积+8r/3）=4r*2r*r=8r即得：球的体积=4r/314第一个推广阿基米德方法的是德国的天文学家和数学家刻卜勒（JohannKepler1571-1630)他在1615年写了《酒桶的新立体几何》，书中包含了用无穷小元素法求面积和求体积的许多问题，其中有87种新的旋转体的体积。刻卜勒工作的直接继承者是卡瓦列里（B.Cavalieri1598-1647),他在1635年发表了专著《不可分素几何学》12.1.3不可分素方法：15卡瓦列里说：“要决定平面图形的大小可以用一系列平行线；我们设想在这些图形上画了无穷多的平行线”。他用同样的方式处理了立体图形，用的不是一系列平行线，而是一系列平行平面。这些直线和平面就是不可分素。卡瓦列里用不可分素的方法解决了整数幂的积分问题。也即，他算出了下面的积分：12.1.3不可分素方法：1011ammxdxam16例求椭圆的体积。12.1.3不可分素方法：222xya22221xyab22222/////yaxbyaxabababababaaab从图形中可得对于圆有对于椭圆有即椭圆和圆的纵坐标之比是。所以椭圆和圆的响应的弦之比也是。因此，根据卡瓦列里原理椭圆和圆的面积之比也是。椭圆面积=圆面积=（）这是刻卜勒求椭圆面积的方法。17例求半径为r的球的体积。12.1.3不可分素方法：LLr1r2ROOO'O'BA22)/3)4/3.rL333两个截面面积都是（，根据卡瓦列里原理，两个立体体积相等。有圆体积=2(圆柱体积-圆锥体积）=2（rrr1812.1.4刘徽的贡献：刘徽（约225-295），中国数学史上伟大的数学家，活动于魏晋年间。中国古典数学理论的奠基者之一。他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最可宝贵的数学遗产。1912.1.4刘徽的贡献：刘徽对积分学的贡献主要有两点：1）他创造性地运用极限思想证明了求圆面积公式和给出了计算圆周率的方法。他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”他得到的圆周率为3927/1250=3.1416。他提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。2012.1.4刘徽的贡献：2）关于解决体积问题的设想。他指出了《九章算术》内求球体积公式的错误。他在正方体内作了两个相互垂直的圆柱，并称两圆柱公共部分为“牟合方盖”，他虽未完成球体积的推导，但他正确的指出，“牟合方盖”与其内切球体积之比为4：，在算法理论和数学思想方面都给后人以很大的启发。2112.1.5祖暅原理：祖暅，字景烁，南北朝时南朝著名数学家和天文学家。著名数学家祖冲之之子。《缀术》就是他们父子共同完成的数学杰作。在推导“牟合方盖”体积的过程中，祖暅提出了“幂势既同，则积不容异”的原理，后来被称为“祖暅原理”。用现代语言来说即“若两立体在等高处具有相同的截面面积，则这两立方体的体积相等”。2212.1.5祖暅原理：“祖暅原理”也即卡瓦列里原理，但比卡瓦列里早了一千年。根据“祖暅原理”可将“牟合方盖”的体积化成一个正方体和一个四棱锥的体积之差。由此求出“牟合方盖”的体积等于。并由此得到求的球的体积。3/32d332*3416Vdd23§12.2微分学的早期史：积分学的历史比较长，相对来讲微分学要短一些。在17世纪，数学家伽利略和刻卜勒的一系列发现，导致数学从古典数学向现代数学的转折。伽利略发现了许多有关物体在地球引力场中运动的基本事实。刻卜勒在1691年前后归纳出著名的行星运动三定律。微分学主要来源于两个问题的研究：一个是作曲线切线问题，一个是求函数的最大最小值问题。2412.2.1费马以前的工作从一般意义上讨论曲线的切线问题由法国数学罗贝瓦尔（G.P.deRoberval1602-1675）和意大利物理学家和数学家托里拆利(Torricelli1608-1647)。他们认为，曲线是由运动的点生成，点的运动又可以分解成两个已知的运动。两个已知的运动的速度向量给出曲线的切线。如：抛物线的切线。（离开准线和离开焦点运动的和力）2512.2.2费马求极大极小值的方法属于微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作是1629年费马给出的，他的方法如下：设f(x)在x处有极大值或极小值，并设e是一个很小的量，那么f(x+e)的值几乎等于f(x)的值。因此我们可以先假定它们相等f(x+e)=f(x)，然后让e等于0，等式仍相等，消去e，得一方程，这个方程的根就是使f(x)取极大值或极小值的x.例：将一个常量M分成两部分，使其乘积最大。2612.2.3费马求切线的方法费马还创造了求切线的方法，他的方法是先求该点的次切线，次切线指的是x轴上两点间的一个线段PA。oPAB(,)xyekCDtxeEy图12-102712.2.3费马求切线的方法K/e=y/tk+y=y(1+e/t)C点坐标为（x+e,y(1+e/t))费马暂时认为这一点也在曲线上，于是有：f（x+e,y(1+e/t))=0。然后解此方程，另e=0,就可解出t。oPAB(,)xyekCDtxeEy图12-1022222(1)()2222211/2eeyxyxeyyxxeetteyyyyxeexexttttxyxt例：当时。2812.2.4费马在积分学方面的贡献费马给出了卡瓦列里法则的几种证明。在1644年前，他也发现了关于分数幂的“抛物线”的求面积，体积及其重心的方法。在费马求面积过程中，看到了定积分概念与运算的大部分的主要内容。他把曲线的面积分割为小的面积元素，利用矩形和曲线的解析方程，求出这些和的近似值，以及在元素个数无限增加，每个元素面积无限小时，将表达式表示为和式极限的方式。费马的贡献在于他第一次采用了相当于今天的定积分的方法，但是费马没有发现微分学和定积分的联系。mnnmaybx2912.2.5巴罗的贡献巴罗（1630-1677），1630年生于伦敦，毕业于剑桥大学。他在物理、数学、天文和神学方面都有造诣。1673年被任命为剑桥三一学院院长。主要著作是《光学和几何学讲义》，1677年逝世于剑桥。OT(,)xyxyMNQeaP巴罗的方法R3012.2.5巴罗的贡献求f(x,y)=0在点P(x,y)处的切线，只要确定T的位置。作三角形PQR,当e很小时，三角形PQR相似于三角形PTM。从而TM/PM=e/aTM=e*y/aOT=OM-TM=OM-PM*QR/RP=x-e*y/aOT(,)xyxyMNQeaP22222()2222211/2yxyaxeyaxxeeaaaxeexexeeeyOTxyxaxyxOT例：当时。R3112.2.5巴罗的贡献3333333223322333332232(),)()33330xyrxyxeyaxeyarxxexeeyyayaareaxyraxeyeyOTxyxax例：求曲线在点，处的切线。把代入方程，得到（即让和的高次幂都为，并利用，上式化为即可求出切线。3212.2.5巴罗的贡献巴罗求切线的方法非常接近我们在微积分中所用的方法，字母e和a相当