晶体对称性

第四章：晶体的对称性§4.1对称性的概念§4.2空间变换§4.3对称群的类型和性质§4.4晶体学点群§4.5晶系和布拉菲群§4.6空间群和国际表第四章：晶体的对称性§4.1对称性的概念对称性在自然界普遍存在z物理规律z建筑、图案、动物、植物、雪花、……z晶体具有特殊的对称性，宏观、微观第四章：晶体的对称性§4.1对称性的概念定义：对称性是描述物体性质的函数，是当物体经历某种变换时的不变性。两种等价的理解方法：oYXrr1)变换作用在物体上，物体变换前后与自身重合。r′r[])()()(rFrgFrFrrr==′[]rrg′=rr变换作用下)(rF′r不变，即：oYXXrr2)变换作用在坐标轴上，观察者换用不同的坐标系，观察结果相同。)()(rFrFXXrrrr′=[]XXg′=rr同一变换作用在坐标轴上：则：(新坐标轴在旧坐标系中的坐标)X′rXr[]XgX′=−rr1即：观察结果相同：[])()(1rFgrFXXrrrr′−=Y′X′Xr′r)(rF′r不变对称物体[]XXg′=rr相同物体的一个对称变化)(rF′r对称变换的两种理解方法存在着内在的本质上的联系。分析结构模型时，第一种较为方便；在进行理论处理时，第二种更为适用。推论：1)对称物体必然包含等同部分（包括镜像等同）；2)对称变换的反变换也是对称变换。一个对称物体的所有对称变换满足群的要求，构成群。第四章：晶体的对称性§4.2空间变换晶体学中的“点”晶体学中的点是用来检验空间变换的，真空、面、线、点（几何）在某些变换下不变，因此都不能用来检验空间变换的发生。晶体学中选用四个不共面、不等距的点构成的不对称四面体（刚性关联）这一不具任何对称性的结构来检验空间变换的发生。晶体学中的“点”指的就是这种不对称四面体。ABCD第四章：晶体的对称性§4.2空间变换晶体学中的空间变换晶体学中讨论的空间变换是几何上可能的对称变换，必然是度规不变的变换。这种变换保持空间任意两点的距离不变。在这种变换的作用下，空间不变形、不延伸、不扭曲、体积不变。两种基本的度规不变变换给定四个点间的距离，可以构成两个不对称四面体，因此两个四点距离相同的四面体有两种关系：迭合等同镜象等同第四章：晶体的对称性§4.2空间变换对应于两类四面体的重合过程就是两类基本的度规不变变换。第一类变换（本征运动）：两个迭合等同四面体的重合过程。第二类变换（非本征运动）：两个镜象等同四面体的重合过程。定理一：任何第一类变换都可分解为平移和与之垂直的转动的迭加（螺旋转动）。定理二：任何第二类变换都可分解为镜象反射和与之垂直的转动的迭加（反射转动）。定理一：总有一个螺旋转动能使迭合等同四面体重合i)任一对应三角形重合，整个四面体重合；ii)平移使点与重合，作和的中垂面，由于、两面都过，交于直线；A′ADCBA′′′′qqA′B′C′D′ABCDA′′B′′C′′D′′BB′′CC′′BAAB′′′′=CAAC′′′′=ApqA′B′C′D′ABCDiii)作面，交于；qp⊥qA′′′ABCiv)和在面上的投影迭合等同，可通过一个旋转重合（Chasles定理）；CBA′′′p定理一：总有一个螺旋转动能使迭合等同四面体重合Chasles定理A′B′C′ABCO可通过转动使平面内的两个迭合等同三角形重合。i)作和的垂直平分线，交于，ii)转动，和同时重合，整个三角形重合。AA′BB′OCBA′′′AA′BB′αsNpqA′′′αOA′B′C′D′ABCDstv)在面上找出，并过做；vi)的沿平移至，然后绕转动，就与重合（位向相同，一点重合）。pOOqNs||ABCDDCBA′′′′qAA′′′sNα定理一：总有一个螺旋转动能使迭合等同四面体重合特例：→简单转动→平移0=st0=α定理二：总有一个反射转动能使镜像等同四面体重合i)过、、的中点作反射面；ii)以为镜面反射至，则、、到面的距离分别与、、到面的距离相等；DCBA′′′′AA′BB′CC′mmDCBA′′′′′′′′ABCmA′′B′′C′′mmA′B′C′D′ABCDA′′B′′C′′D′′定理二：总有一个反射转动能使镜像等同四面体重合iii)在面内找到投影和投影的Chasles中心；iv)绕过点垂直面的轴转动并对面反射，使与重合。mA′B′C′D′ABCDA′′B′′C′′D′′αN~αOmABCCBA′′′OOmsαmABCDDCBA′′′′特例：、、交与一点→反演、、→反射→滑移反射镜象转动和反演转动等价：AA′BB′CC′mAA⊥′mBB⊥′mCC⊥′CCBBAA′′′||||παα−=NN~第四章：晶体的对称性§4.2空间变换空间变换的分类点对称变换（本征变换）：至少保持空间一个点的位置不变。简单转动镜象转动反演反射非点对称变换（非本征转动）：空间所有点的位置都发生了变化。平移滑移反射螺旋转动点群平移周期第四章：晶体的对称性§4.2空间变换空间变换的数学表达本征转动非本征转动矩阵相当于一个坐标轴的转动变换，是转置矩阵并满足正交归一条件：trDrrrr+⋅=′⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211aaaaaaaaaDD⎩⎨⎧≠===∑jikiaaijjkij01δ并有：12=D，或1±=D度规不变的要求第四章：晶体的对称性§4.2空间变换第一类变换和第二类变换的联系和差别⎩⎨⎧−+=11D第一类变换第二类变换推论：（1）不可能由若干个第一类变换的组合得到第二类变换。（2）偶数个第二类变换的结果是第一类变换；奇数个第二类变换的结果仍是第二类变换。121222ttrDDtrDrrrrrrr++⋅=+′⋅=′′第四章：晶体的对称性§4.2空间变换几条定理定理I：简单转动可化为两个相交于转轴、夹角为的两个镜象反射。2α定理II：平移可化为两个垂直于平移方向、相距为的两个镜象反射。此处的两个反射面不是独立的，必须成对出现。位置有任意性。定理III：两个相交的简单转动得到第三个相交于同一点的独立转动。2trαtr简单转动化为两个相交的镜象反射2αα1m2m平移化为两个垂直于平移的镜象反射2trtr1m2m两个相交的转动得到第三个转动1αN2αN3αNAA′A′′A′′′21αO22α23α、各分出一个以平面为镜面的镜象反射，剩下的两个镜面合起来构成，而两个互相抵消，是独立的。1αN2αN21ααNON3αN21ααNON是独立的。3αN作业一、证明第一类变换可分解为平移和转动的迭加，第二类变换可分解为镜象反射和转动的迭加。二、举出若干个自然界中的对称物体，并说明其所包含的等同部分属于迭合等同还是镜象等同。第四章：晶体的对称性§4.1对称性的概念§4.2空间变换§4.3对称群的类型和性质§4.4晶体学点群§4.5晶系§4.6空间群和国际表第四章：晶体的对称性§4.3对称群的类型和性质群论基础（局限于晶体对称性的需要）集合上定义了乘法，并满足：{}⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,321gggG1、封闭性：(乘法表)2、结合律：3、单位元素：4、倒易元素：Ggggkji∈=kjikjigggggg)()(=iiigegeg==eggggiiii==−−11构成一群，称为群的一个元素。GigG对称物体的所有对称变换构成一个群。一般情况下，群元素没有交换律：ijjigggg≠定义：第四章：晶体的对称性§4.3对称群的类型和性质群论基础（局限于晶体对称性的需要）群的基本性质：1、阶：群中元素的个数有限群：→有限正整数，点群无限群：→无穷大正整数，平移群hhh2、子群：群部分元素的集合满足群公理的要求，则构成的一个子群。GGHH子群指数：HGnnp=第四章：晶体的对称性§4.3对称群的类型和性质群论基础（局限于晶体对称性的需要）群的基本性质：3、同形（同构）：两个群iihg↔的元素及其乘积之间有一一对应关系：{}⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,321gggG{}⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,321hhhHjijihhgg↔则两群同形：HG↔相互同形的具体群是同一抽象群的不同体现形式，在抽象群中建立的规律在所有和它同形的群中都适用，只是具体的物理意义和解释不同。第四章：晶体的对称性§4.3对称群的类型和性质群论基础（局限于晶体对称性的需要）群的基本性质：4、同态（准同形）：两个群的元素及其乘积之间有一一对应关系：ikiigggM21jijtishhgg→ih则群同态于群：HG→HG同态群部分体现了群的性质。在中建立的规律对中的某些性质适用。HGHGHG：二维点群：三维点群第四章：晶体的对称性§4.3对称群的类型和性质群论基础（局限于晶体对称性的需要）群的基本性质：4、共轭类：共轭：若，则、共轭。1−=kikjggggjgig从坐标变换的角度看，是在新坐标系中看旧坐标系中的（，分别变回旧坐标系和变入新坐标系），因此，两个共轭元素实际上是同一性质在坐标变换相联系起来的两个坐标系中的表现形式。jg1−kgkgigkg所有相互共轭的元素的集合构成一个共轭类。共轭类是某一性质的代表，共轭类中的元素是同一性质在所有由对称变换相联系的坐标系中的不同表现形式。推论一：每个群元素属于且只属于一个共轭类。推论二：单位元素是一个特殊的共轭类。推论三：群元素可按共轭类分解。一个群元素代表一种性质单位元素代表自身等同，在所有坐标系中相同按性质分解，一个性质一个共轭类NCCCGULUU10=第四章：晶体的对称性§4.3对称群的类型和性质群论基础（局限于晶体对称性的需要）群的基本性质：5、陪集：不属于子群的元素和子群的元素逐一相乘所得到的集合。Higjh右陪集是子群对子群外元素的扩展，左陪集是子群外元素对子群的扩展。右陪集：{}iMiiiighghghghHg,,,,321⋅⋅⋅⋅⋅⋅={}MiiiiihghghghgHg,,,,321⋅⋅⋅⋅⋅⋅=左陪集：推论一：陪集中没有相同元素。推论二：陪集和其子群没有共同元素。推论三：不同元素的陪集要么重合，要么没有共同元素。若，则，lijihghg=ljhh=lihgjihg和是同一元素的操作结果。若，则，kjihhg=Hhhgjki∈=−1与的假设矛盾。Hgi∉设、的陪集有一个共同元素，，1g2gjihghg21=则，反之亦然。两陪集重合，实际上是同一陪集。Hghghhggkij22121∈==−从子群向群的扩展过程，可以看成群元素的增加过程。当已有子群存在时，群元素不能单个单个地加入，而只能以陪集作为整体加入，所以群的阶必然是子群阶的整数倍。群元素除了要按陪集增加外，还必需按子群增加。HGHH推论四：只要指定一个元素便可唯一地确定陪集。推论五：群可按子群的陪集分解：HGppgHgHHHgHgHG′′==ULUUULUU11群的几个简单例子按代数乘法，构成2阶群。{}1,1−按复数乘法，构成4阶群。{}ii−−,,1,1所有整数按代数加法，构成无限群。所有整数按代数乘法构成无限群?例：N阶转动和复数乘法的同形N阶转动（转角：）Nnie/2π{}πππ2/4/2,,,iNiNieeeL⎭⎬⎫⎩⎨⎧πππ2,,4,2LNN乘法：连续转动乘法：复数乘法抽象群：N阶循环群{}ngnngg1=egN=Nπ2Nπ21g：生成元例：石英外形，32点群u2x2y23⎭⎬⎫⎩⎨⎧=,,,,,,2,2,2,3,3,5432102gggggguyxeGexyuueuxyyeyuxxyxuexuyeuyxeeuyxe332222332222332222222333222333222332223322222222乘法表：满足群公理的要求。例：石英外形，32点群★阶：6★子群：{}23,3,e（指数：p=2）{}xe2,{}ye2,{}ue2,（指数：p=3）陪集：★共轭类：{}{}uyxxe2,2,223,3,2={}{}uyxeG2,2,23,3,2U={}{}uxe2,332,={}{}yxe2,332,22={}{}{}yuxeG2,32,32,2UU={}e{}23,3{}uyx2,2,2{}{}{}uyxeG2,2,23,32UU=（3个共轭类→3种对称性）第四章：晶体的对称性§4.3对称群的