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贯彻落实四基四能发展数学核心素养李海东人民教育出版社中学数学室lhd@pep.com.cn•党的十八大：“立德树人”是教育的根本任务•育人目标是教育的核心目标•2014年教育部《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》：教育部将组织研究提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”。•发展学生的核心素养34•双基（52）——三维目标（01）——核心素养（16）教书——育人•三维目标是目标的三个方面，不是三个孤立的目标。在过程中理解知识、掌握方法，培养情感态度价值观。•核心素养是三维目标的提炼与整合（知识与技能、过程与方法提炼为能力，情感态度提炼为品格）。•数学的育人目标如何体现•数学是一门怎样的课程？它的育人任务是什么？•核心是对学生进行数学的思维和语言的教育，即通过数学的阅读、运算、推理和表达的训练，使学生正确理解数学知识，形成用数学知识合理解释直至创造性地解决问题的能力。•数学学科育人的独特功能，主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上，要使学生学会思考，特别是学会“有逻辑地思考”，使生成为善于认识问题、善于解决问题的人。•就数学学科而言，在学生发展核心素养的6大素养中，应侧重在“科学精神”“学会学习”和“实践创新”等方面，其中尤应以“科学精神”中的“理性思维”为统领。6•科学精神：主要是学生在学习、理解、运用科学知识和技能等方面所形成的价值标准、思维方式和行为表现。•理性思维：崇尚真知，能理解和掌握基本的科学原理和方法；尊重事实和证据，有实证意识和严谨的求知态度；逻辑清晰，能运用科学的思维方式认识事物、解决问题、指导行为等。•批判质疑：具有问题意识；能独立思考、独立判断；思维缜密，能多角度、辩证地分析问题，做出选择和决定等。•勇于探究：具有好奇心和想象力；能不畏困难，有坚持不懈的探索精神；能大胆尝试，积极寻求有效的问题解决方法等。•学会学习：主要是学生在学习意识形成、学习方式方法选择、学习进程评估调控等方面的综合表现。•乐学善学：能正确认识和理解学习的价值，具有积极的学习态度和浓厚的学习兴趣；能养成良好的学习习惯，掌握适合自身的学习方法；能自主学习，具有终身学习的意识和能力等。•勤于反思：具有对自己的学习状态进行审视的意识和习惯，善于总结经验；能够根据不同情境和自身实际，选择或调整学习策略和方法等。•社会参与•实践创新。主要是学生在日常活动、问题解决、适应挑战等方面所形成的实践能力、创新意识和行为表现。具体包括劳动意识、问题解决、技术应用等基本要点。•高中数学课标（2017年版）•数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。•数学教育承载着立德树人的育人功能。数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法；提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界；促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展；在学生形成正确人生观、价值观、世界观等方面发挥独特作用。•数学课程目标的发展•上个世纪：双基+三大能力•2002年版《全日制普通高级中学数学教学大纲》：“使学生在高中阶段继续受到教育，提高数学素养”“努力培养学生数学思维能力，包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断”。•2003年版《普通高中数学课程标准(实验稿)》：高中数学课程的总目标是：在九年义务教育数学课程的基础上，使学生获得作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。提高空间想象、抽象概括、运算求解、数据处理等基本能力。10•《义务教育数学课程标准(2011年版)》：•获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。•体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。•了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。•高中数学的课程目标•通过高中数学课程的学习，获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。•在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学核心素养。•通过高中数学课程的学习，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。•课堂教学要落实数学的育人目标•贯彻落实四基四能，发展数学核心素养•在深化课堂教学改革中，要坚持以学生的发展为本，从数学学科的整体结构、核心内容和重要思想上整体把握和认识数学教学内容，完整地体现好数学的科学性、工具性、价值理性和人文性这些特质，使课堂教学成为一个融数学知识、技能、方法、思想和精神于一体的整体，教给学生完整的数学，全面发挥数学的育人功能。13•要整体把握教学内容，从教学内容、内容之间的联系、内容所反映的思想方法等角度理解数学。•要使学生学会数学地认识问题和解决问题，就需要我们在数学教学中挖掘数学核心知识蕴含的思维教育价值，加强学习方法的引导，以问题引导学习，使学生经历数学概念的概括过程、数学原理的抽象过程、数学知识的应用过程，从中体会数学的研究方法，领悟数学研究的“基本思路”。一、突出运算和运算律的作用，归纳地学习“数与代数”的内容。•代数的根源在于运算•各种代数问题中，我们总是运用各种代数运算（如加法、乘法等）来分析量与量的代数关联。•解决问题的过程中，则要用代数运算去表示现实事物中的量（式），反映其中的关系（方程、函数）和变化过程（函数），将实际问题“代数化”后再加以解决。•从数（表示量）到代数式（符号代表数——从处理单个数到处理一类问题）、方程（符号代表未知数——数量关系到等量关系）到函数（符号代表变数——从变化过程中考察规律）是一个不断提升的过程，这是看问题角度的根本变化。•代数运算具有一系列普遍成立的运算律，包括加法、乘法的交换律、结合律，分配律，指数法则等，它们是在代数中广泛能用且简单有力的代数基本工具，运算律是整个代数学的基础。•运算过程中，运算律的普遍性让我们可以有效地分析所给问题中未知量与已知量的关联，从而化未知为已知。•各种式（整式、分式、根式等）的运算——用运算律进行“等价变换”；比如在整式的乘法中，多项式的乘法要利用分配律转化为单项式的乘法，而单项式的乘法又要利用交换律和结合律转化为幂的运算。•与几何问题的研究从“几何直观”出发不同，在代数问题的学习中，归纳、类比是常用且有用的基本方法。•这里的归纳，既包括“归纳发现”，也包括“归纳证明”。各种代数问题的研究中，我们总是从具体到抽象、从特殊到一般，归纳地发现具有某种共有特性的事物，归纳地定义这种事物，归纳地证明上述归纳定义的事物具有的特性。•代数中许多重要的公式和定理，都是从低次到高次、从少元到多元逐步归纳发现，再进行归纳论证其普遍性而得到的。•基于上述认识，对于“数与代数”的内容，从数的扩充、式的扩展、方程的丰富、到变量与函数的引入，是一个从简单到复杂、从具体到抽象、从常量到变量的不断归纳提升的过程。在内容展开过程中，应充分重视归纳、类比等研究方法，加强思想方法的引导，使学生逐步领悟研究代数问题的基本方法。例：数系扩充•在数系的发展过程中，正整数与人的直觉一致产生顺理成章；0、负整数、分数、无理数、复数取得“合法”地位，都经历了漫长、曲折而相似的过程。•让学生返璞归真地经历这个过程，对他们理解数学的整体性、感受数学研究的方法很有好处，自然地，这也是培养学生的数学素养，提高他们发现和提出问题、分析和解决问题的能力的极好途径。•数学推广过程的一个重要特性是：使得在原来范围内成立的规律（运算和运算律）在更大的范围内仍然成立。•数系扩充：引入一种新数（如何引入）；定义其运算（如何定义）；满足怎样的运算律。20•有理数中的数系扩充思想•在归纳运算法则时，强调从符号和绝对值两个角度着手；在具体运算中，强调“先确定符号，再算绝对值”；在小结中明确“与负数有关的运算，我们都借助绝对值，将它们转化为正数之间的运算”。21•有理数乘法渗透数系扩充基本思想的——使算术运算的运算律保持不变。22例：数式通性•“数式通性”是研究数（有理数、实数）、式（整式、分式、二次根式）和解方程的基本思想和方法。•由于字母表示数，因此数的运算法则、运算律和运算性质在式的运算中仍然成立，这也是对式进行研究的基础。•同样，对于解方程，也是因为运算律对任何数都成立，所以对“未知数”也成立，因此可以有系统地用运算律化简所给的方程，从而确定其中的未知数——化未知为已知。•数式通性——整式•数式通性——分式•数式通性——二次根式•解方程中的算理等式的性质——解简单方程分配律——合并同类项等式的性质——移项分配律——去括号等式的性质——去分母等式的性质——运算中的不变性——运算律•充分注意“有理数”的基础地位和作用，有理数的运算不仅提供了整个代数运算的基础，它的研究过程（背景引入——定义——表示——性质——运算和运算律——应用）也提供了研究一个代数对象的基本思路。•在进行式的内容的教学时，要重视“数式通性”，加强与数的概念、运算法则和运算律的类比，在引言和小结中，注意阐述“从数到式”的研究内容和方法。例：类比的研究问题——函数的研究正比例函数→一次函数→二次函数→反比例函数•研究内容：概念、图象、性质、应用•概念（表示）：体现概念教学的一般过程•图象：描点法、图象特征•性质：从k(a)0到k(a)0，从具体的函数到一般函数•应用：建立函数模型解决问题•概念教学的基本环节•概念的引入——从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；•概念属性的概括——提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；•概念的明确与表示——下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；•概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；•概念的巩固应用——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；•纳入概念系统——建立与相关概念的联系。•概念教学的核心——抽象概括：以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念；（教学重点、突破难点的关键所在）•习惯做法——“纠错教学法”•快速给出定义•提出“准确理解”定义的注意点•例题示范（巩固、应用）•练习巩固——课堂、课后•函数概念教学中数学抽象素养的落实（1）每一个问题中所包含的量分别有哪些？（2）在每一个问题中，量与量之间有什么联系？哪个（些）量的变化决定了另一个（些）量的变化？（3）能用数学的方式表示吗？（公式、图、表、递推关系等）（4）能对上述问题的共性进行再抽象吗？（概念的概括过程）（5）在学生概括的基础上，给出抽象定义等，这是抽象基础上的概括。•感性具体→理性具体→理性一般32•关于概念的引入•数学的还是联系实际的——自然的•成为后续概括活动的基础；吸引学生注意力；引发学生兴趣；•更应重视数学内在的逻辑线索。•不好的引入•不反映当前学习内容的本质例：平方差公式的引入•体现研究一个数学对象的性质的一般过程与方法。•变化之中保持的“不变性”就是性质；变化过程中出现的规律性就是性质。现实世界中的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值……这些现象反映到数学中，就是函数值随自变量的增加而增加还是减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小……这就是我们要研究的函数性质——“单调性”“最大值”“最小值”•如何研