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相似三角形及其应用第22讲┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究考点1相似图形的有关概念考点聚焦回归教材中考预测相似图形形状相同的图形称为相似图形相似多边形定义如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似相似比相似多边形对应边的比称为相似比k相似三角形两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比k＝1时，两个三角形全等第22讲┃相似三角形及其应用考点2比例线段考点聚焦归类探究回归教材中考预测定义防错提醒比例线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即____________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位黄金分割在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果________，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为________一条线段的黄金分割点有______个a∶b＝c∶d0.618两第22讲┃相似三角形及其应用考点3相似三角形的判定考点聚焦归类探究回归教材中考预测判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________判定定理2如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似判定定理3如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且____________相等，那么这两个三角形相似判定定理4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________，那么这两个三角形相似拓展直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似相似比相应的夹角两个角对应相等第22讲┃相似三角形及其应用考点4相似三角形的性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测相似三角形(1)相似三角形周长的比等于相似比(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比相似多边形(1)相似多边形周长的比等于相似比(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方第22讲┃相似三角形及其应用考点5位似考点聚焦归类探究回归教材中考预测位似图形定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心位似与相似关系位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行位似图形的性质(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________；(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________点；(3)位似图形对应边______(或在一条直线上)；(4)位似图形对应角相等相似比一平行第22讲┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测以坐标原点为中心的位似变换在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________位似作图(1)确定位似中心O；(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)；(3)按照相似比取点；(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形第22讲┃相似三角形及其应用考点6相似三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测几何图形的证明与计算常见问题证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等相似三角形在实际生活中的应用建模思想建立相似三角形模型常见题目类型(1)利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解；(2)测量底部可以达到的物体的高度；(3)测量底部不可以到达的物体的高度；(4)测量不可以达到的河的宽度第22讲┃相似三角形及其应用探究一比例线段命题角度：1．直角三角形两锐角互余；2．直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．考点聚焦归类探究回归教材中考预测归类探究例1[2013·上海]如图22－1，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于()A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2∶5图22－1A第22讲┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析先由AD∶DB＝3∶5，求得BD∶AB的长，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE∶AC＝BD∶AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF∶CB＝CE∶AC，则可求得答案．具体解题过程如下：第22讲┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8，∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.故选A.第22讲┃相似三角形及其应用探究二相似三角形的性质及其应用命题角度：1.利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2.利用相似三角形性质探求比值关系．考点聚焦归类探究回归教材中考预测例2如图22－2，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.(1)求证：；(2)求这个矩形EFGH的周长．图22－2第22讲┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测解(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH.∴∠AHG＝∠ABC.又∵∠HAG＝∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴AMAD＝HGBC.第22讲┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析(1)证明△AHG∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，证明结论．(2)设HE＝x，则HG＝2x，利用第一问中的结论求解．第22讲┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测解(2)由(1)得AMAD＝HGBC.设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.可得30－x30＝2x40，解得x＝12，2x＝24.所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．第22讲┃相似三角形及其应用变式题如图22－3，一个人拿着一把刻有厘米刻度的小尺，站在离电线杆约20m的地方，他把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知臂长约40cm，你能根据以上数据求出电线杆的高度吗？考点聚焦归类探究回归教材中考预测图22－3解析运用的是相似三角形的对应高的比等于相似比，来求出电线杆的高度，注意单位的转化．第22讲┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测解根据题意，得△AOB∽△DOC，所以CD∶AB＝20∶0.4，即CD∶0.12＝20∶0.4，解得CD＝6m.故电线杆的高度为6m.第22讲┃相似三角形及其应用探究三三角形相似的判定方法及其应用命题角度：1．利用两个角判定三角形相似；2．利用两边及夹角判定三角形相似；3．利用三边判定三角形相似.考点聚焦归类探究回归教材中考预测例3[2013·巴中]如图22－4，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．图22－4第22讲┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测第22讲┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测解(2)在▱ABCD中，CD＝AB＝8，由(1)知△ADF∽△DEC，∴ADDE＝AFCD，∴DE＝AD·CDAF＝63×843＝12.在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝DE2－AD2＝122－（63）2＝6.第22讲┃相似三角形及其应用判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．考点聚焦归类探究回归教材中考预测第22讲┃相似三角形及其应用探究四位似命题角度：1.位似图形及位似中心定义；2.位似图形的性质应用；3.利用位似变换在网格纸里作图．考点聚焦归类探究回归教材中考预测例4[2013·孝感]在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为12，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是()A．(－2，1)B．(－8，4)C．(－8，4)或(8，－4)D．(－2，1)或(2，－1)D解析根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可．第22讲┃相似三角形及其应用利用位似将图形放大或缩小的作图步骤：第一步：在原图上选取关键点若干个，并在原图外任取一点P；第二步：以点P为端点向各关键点作射线；第三步：分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点．即可得到符合要求的新图形．考点聚焦归类探究回归教材中考预测第22讲┃相似三角形及其应用探究五相似三角形与圆命题角度：1.圆中的相似计算；2.圆中的相似证明．考点聚焦归类探究回归教材中考预测例5[2013·黄冈]如图22－5，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB.(1)求证：DC为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．图22－5第22讲┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测解(1)证明：连接OC.∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.又∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴OC⊥CD.即DC为⊙O的切线．第22讲┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测解(2)连接BC.∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC＝ACAB，即AC2＝AD·AB.又⊙O的半径为3，∴AB＝6.又∵AD＝4，∴AC＝26.第22讲┃相似三角形及其应用三角形中的内接四边形问题教材母题北师大版八下P147例题回归教材考点聚焦归类探究回归教材中考预测如图22－6，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC＝60cm，AD＝40cm，四边形PQRS是正方形．(1)△ASR与△ABC相似吗？为什么？(2)求正方形PQRS的边长．图22－6第22讲┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测解：(1)△ASR∽△ABC.理由：PQRS是正方形⇒SR∥BC⇒错误！⇒△ASR∽△ABC.(2)因为△ASR∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得AEAD＝SRBC.设正方形PQRS的边长为xcm，则AE＝(40－x)cm，所以40－x40＝x60.解得x＝24.所以正方形PQRS的边长为24cm.第22讲┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测中考预测如图22－7，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是________mm.图22－748