大学数学与中学数学的关系及其对中学数学教学的作用

大学数学与中学数学的关系及其对中学数学教学的作用【摘要】大学数学专业的主要任务是培养合格的中学数学教师,然而在大学数学的教学活动中,常常有学生向教师提出:“大学数学在中学数学教学中用不上”,甚至有的中学教师也持此种看法。这不仅影响了大学数学专业学生学习大学数学的主动性也挫伤了一些在职教师教授、进修大学数学的积极性。让此看法漫延,无疑将影响我国的数学教育工作。我们认为,持此类看法的大学学生和在职教师,恰恰是对数学的理解比较肤浅,对大学数学课对中学数学教学工作的指导作用认识不够所造成的;另一方面也使我们大学教师认识到,应当努力改革大学数学课的教学工作,提高学生对大学数学课对中学数学教学的指导工作的认识。【关键词】大学数学中学数学联系指导作用.Universitymathematicsrelationshipwiththemiddleschoolmathematicsanditseffectonmiddleschoolmathematicsteaching【Abstract】Themaintaskofmathematicsinnormaluniversitiesistocultivatequalifiedmiddleschoolmathematicsteachers,incollegemathematicsteachingactivity,however,oftenhaveastudentaskedtheteacher:\notinthemiddleschoolmathematicsteachinginhighermathematics\,andevensomemiddleschoolteachersalsoholdthisview.Thisnotonlyaffectstheinitiativeofstudentlearningofmathematicsinnormaluniversitiesofhighermathematicsprofessoralsodampenedsomein-serviceteachers,studytheenthusiasmofhighermathematics.Letthisview,willundoubtedlyaffectourcountry'smathematicseducationwork.Webelievethatwiththeviewofcollegestudentsandteachers,itistheunderstandingofmathematicsissuperficialandmathinmiddleschoolmathematicsteachinginthenormaluniversitiesworkcausedbytheguidancetoknowenough;Ontheotherhandalsotomakeourcollegeteachersrealizethatshouldstrivetoreformcollegemathematicsteaching,improvestudents'mathinmiddleschoolmathematicsteachinginthenormaluniversitiesguidancework【Keywords】Universitymathematicsmiddleschoolmathematicsguidingfunctionconnection.目录1.引言…………………………………………………………………………………………52初等数学与高等数学的联系………………………………………………………………52.1初等数学是高等数学的基础，二者有本质的联系………………………………62.2知识方面的联系…………………………………………………………………………82.3思想方面的联系…………………………………………………………………………83大学数学教学与中学数学教学的主要差异…………………………………………93.1内容上的差异………………………………………………………………………93.2教师教学方法上的差异…………………………………………………………93.3学生学习方法上的差异…………………………………………………………………94高师数学课对中学数学教学的指导作用……………………………………………104.1从初等数学与高等数学的联系看高等数学对中学数学教学的指导作用…………………………………………………………………………………………………104.2从教师素质看高等数学对中学数学教学的指导作用……………………………104.3从数学教育教学的研究看高等数学对中学数学教学的指导作用…………………………………………………………………………………………………114.4从中学数学的教学过程看高等数学对中学数学教学的指导作用…………………………………………………………………………………………………125数学分析课程对中学数学教学的指导作用…………………………………………125.1数学分析为中学数学中的一些问题和方法提供了理论依据…………………125.2数学分析的学习有助于记忆公式，证明等式，研究变量关…………………135.3用高观点分析和处理中学数学中的一些问题……………………………………135.4用数学分析的理论和思想指导，编拟中学数学练习题…………………………136总结……………………………………………………………………………………………13参考文献………………………………………………………………………………………141引言近几年来大学师范院校数学系的不少大学生对学习大学数学存在不少看法如“现在学的大学数学好像与中学数学没有多大联系”,“学习大学数学对今后当中学数学教师作用不大”,有的甚至提出“大学数学在中学教学里根本用不上”等等.这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样“新的大学生一入学就发现他面对的问题好像和中学里学过的东西一点也没有联系似的，但是毕业以后当了老师，他们又突然发现要他们按老师的教法来教传统的中学数学，却由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系，于是很快坠入相沿成习的教学方法，而他们所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆，却对他们对教学毫无影响.”然而现在在新的数学教材中已经出现了一些基础的高等数学知识，这可以说是数学发展的一种必然趋势，所以现在的中学数学教师必须掌握大学数学的基础知识以适应数学发展和教材改革.所以大学数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等方面的作用就尤为突出了.2中学数学与大学数学的联系一般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段(萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期)或五个时期(再加上“当代时期”).无论何种方法都把第二发展时期叫做“初等数学时期”这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法所谓初等数学就是指常量数学,高等数学就是指变量数学,并把笛卡尔(RDescartes)1637年发明的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志,而教育意义下的初等数学和高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的即视普通初等、中等教育(即中、小学教育)阶段的数学主要内容为初等数学,视高等教育阶段的数学主要内容为高等数学.当然由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象两者没有严格的概念区别.事实上,数学科学是一个不可分割的整体,它的生命力在于各部分之间的有机联系,只从学科表面上看难以看清两者之间的内在联系,这就需要深入研究初等数学,理清其中最基本的思想和方法,努力寻求初等数学和高等数学的结合点.2.1初等数学是高等数学的基础，二者有本质的联系将高等数学的理论应用于初等数学,使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作是一个值得研究的课题.俗话说，站得高才能看得远.因此笔者认为,作为中学教师除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等方法外,还应善于用高等数学方法解决中学数学问题,特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁而用高等数学方法则易于解决的中学数学问题,从而拓广解题思路和技巧,提高教师专业水平,促进中学数学教学.下面略举几例说明.例1.证明:当0,,cba时，有不等式abccba3333.证明:设333()3,(0,),fxxbcbcxxbcxxf33)(2令0)(xf，即0332bcx，解得驻点bcx，且),0(bcx，有),(;0)(bcxxf，有0)(xf，知函数)(xf在点bcx取极小值，其极小值为bcbccbbcbcf3)()(333332cbcbcb.0)(33cb由于)(xf在),0(上连续，且只有一个极小点，因此这个极小点就是最小点，则),0(x，有0)(3)(233333cbbcxcbxxf.令ax，于是，,03333abccba即.3333abccba例2.已知数列.,12,1}{11nnnnnaaaaa求数列通项满足解：设12)()1(,1)1(),,1[,)(xxxfxffxaxf且.（1）显然当时，有)(Nnx1212)()1(1nnnnaanfnf或.当212)1()11(1ffx时，有.对（1）式两边关于x求导，得2ln2)()1(xxfxf.从而2ln2)1()(1nnfnf21211(2)2ln22ln2(1)2ln22ln22ln22(21)(1)ln221(1)2ln22ln2,nnnnnnfnfff故2ln22ln2)1()(xfxf的原函数为dxdxdxfdxxfxfx2ln22ln2)1()()(.（2）将）式，得方程组代入（22)2(,1)1(ff2ln21(1),4ln222(1)fcfc解此方程组，得0,12ln2)1(cf并将其代入（2），且令nx，有()(2ln21)22ln22,nnfnnnn即01.121nnnnCCCn高等数学的许多方法和技巧都能直接应用于中学数学解题,它常能起到以简驭繁并能使问题得以深化和拓广的作用.以上只是给出两个实例说明高等数学能指导中学数学解决初等代数和初等几何且收到了很好的效果.在教学过程中结合具体内容不失时机地介绍给学生对于丰富学生的解题方法特别是作为教师在将来的数学教学中用它来预测答案确定初等解法的路线构造习题检验结果都有重要的作用。2.2知识方面的联系高等代数在知识上是中学数学的继续和提高它能解释许多中学数学未能说清楚的问题如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等从以下几个方面说明首先中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则.高等代数在拓宽多项式的含义严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上接着讲多项式的整除理论,最大公因式理论.中学代数给出了多项式因式分解的常用方法.高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义,接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定.中学代数讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系.高等代数接着讲一元n次方程根的定义,复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数实系数一元n次方程根的特点,有理系数一元n次方程有理根的性质及求法,一元n次方程根的近似解法及公式解简介.中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法,高等