【创新方案】2013年高考数学一轮复习 第六篇 数列 第3讲 等比数列及其前n项和教案 理 新人教版

1第3讲等比数列及其前n项和【2013年高考会这样考】1．以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定．2．考查通项公式、前n项和公式以及性质的应用．【复习指导】本讲复习时，紧扣等比数列的定义，掌握其通项公式和前n项和公式，求和时要注意验证公比q是否为1；对等比数列的性质应用要灵活，运算中要注意方程思想的应用．基础梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.3．等比中项若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1－qn1－q＝a1－anq1－q.一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，2同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a1－qn1－q(q≠1)．两个防范(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在等比数列{an}中，如果公比q＜1，那么等比数列{an}是()．A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定数列的增减性解析当a1＞0,0＜q＜1，数列{an}为递减数列，当q＜0，数列{an}为摆动数列．答案D2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于()．A．－12B．－2C．2D.12解析由题意知：q3＝a5a2＝18，∴q＝12.答案D3．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于()．A．4B．8C．16D．32解析由等比数列的性质得：a2a6＝a24＝16.答案C4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝()．3A．－11B．－8C．5D．11解析设等比数列的首项为a1，公比为q.因为8a2＋a5＝0，所以8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，∴S5S2＝a1－q51－q·1－qa1－q2＝1－q51－q2＝1－－51－4＝－11.答案A5．(2011·广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.解析设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋9×82d＝4×1＋4×32d，所以d＝－16.又ak＋a4＝0，所以1＋k－－16＋1＋－－16]＝0，即k＝10.答案10考向一等比数列基本量的计算【例1】►(2011·全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.求an和Sn.[审题视点]列方程组求首项a1和公差d.解设{an}的公比为q，由题设得a1q＝6，6a1＋a1q2＝30，解得a1＝3，q＝2或a1＝2，q＝3.当a1＝3，q＝2时，an＝3·2n－1，Sn＝3·(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，an＝2·3n－1，Sn＝3n－1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．【训练1】等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝329，且公比q∈(0,1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．解(1)∵a3·a4＝a1·a6＝329，又a1＋a6＝11，4故a1，a6看作方程x2－11x＋329＝0的两根，又q∈(0,1)∴a1＝323，a6＝13，∴q5＝a6a1＝132，∴q＝12，∴an＝323·12n－1＝13·12n－6.(2)由(1)知Sn＝6431－12n＝21，解得n＝6.考向二等比数列的判定或证明【例2】►(2012·长沙模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．[审题视点]第(1)问把bn＝an＋1－an中an＋1换为an－1＋an2整理可证；第(2)问可用叠加法求an.(1)证明b1＝a2－a1＝1.当n≥2时，bn＝an＋1－an＝an－1＋an2－an＝－12(an－an－1)＝－12bn－1，∴{bn}是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)解由(1)知bn＝an＋1－an＝－12n－1，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋－12＋…＋－12n－2＝1＋1－－12n－11－－12＝1＋231－－12n－1＝53－23－12n－1.当n＝1时，53－23－121－1＝1＝a1，∴an＝53－23－12n－1(n∈N*)．证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．5【训练2】(2011·四川)设d为非零实数，an＝1n[C1nd＋2C2nd2＋…＋(n－1)Cn－1ndn－1＋nCnndn](n∈N*)．(1)写出a1，a2，a3并判断{an}是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；(2)设bn＝ndan(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)由已知可得a1＝d，a2＝d(1＋d)，a3＝d(1＋d)2.当n≥2，k≥1时，knCkn＝Ck－1n－1，因此an＝∑nk＝1knCkndk＝∑nk＝1Ck－1n－1dk＝d∑n－1k＝0Ckn－1dk＝d(d＋1)n－1.由此可见，当d≠－1时，{an}是以d为首项，d＋1为公比的等比数列；当d＝－1时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}不是等比数列．(2)由(1)可知，an＝d(d＋1)n－1，从而bn＝nd2(d＋1)n－1Sn＝d2[1＋2(d＋1)＋3(d＋1)2＋…＋(n－1)(d＋1)n－2＋n(d＋1)n－1]．①当d＝－1时，Sn＝d2＝1.当d≠－1时，①式两边同乘d＋1得(d＋1)Sn＝d2[(d＋1)＋2(d＋1)2＋…＋(n－1)(d＋1)n－1＋n(d＋1)n]．②①，②式相减可得－dSn＝d2[1＋(d＋1)＋(d＋1)2＋…＋(d＋1)n－1－n(d＋1)n]＝d2d＋n－1d－nd＋n.化简即得Sn＝(d＋1)n(nd－1)＋1.综上，Sn＝(d＋1)n(nd－1)＋1.考向三等比数列的性质及应用【例3】►已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再后面3n项的和．[审题视点]利用等比数列的性质：依次n项的和成等比数列．解∵Sn＝2，其后2n项为S3n－Sn＝S3n－2＝12，∴S3n＝14.由等比数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，即(S2n－2)2＝2·(14－S2n)解得S2n＝－4，或S2n＝6.当S2n＝－4时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是首项为2，公比为－3的等比数列，则S6n＝Sn＋(S2n－Sn)＋…＋(S6n－S5n)＝－364，∴再后3n项的和为S6n－S3n＝－364－14＝－378.当S2n＝6时，同理可得再后3n项的和为S6n－S3n＝126－14＝112.故所求的和为－378或112.6本题利用了等比数列的性质中的第4条，其和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，若把数列{an}平均分成若干组，其积也为等比数列．【训练3】(2011·北京)在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.解析设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2；等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝12×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝12(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝12(2n－1)＝2n－1－12.答案－22n－1－12规范解答11——怎样求解等差与等比数列的综合性问题【问题研究】等差数列和等比数列既相互区别，又相互联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，将两类数列综合起来考查是高考的重点.这类问题多属于两者基本运算的综合题以及相互之间的转化.【解决方案】首先求解出两个数列的基本量：首项和公差及公比，再灵活利用性质转化条件，以及利用等差、等比数列的相关知识解决.【示例】►(本题满分12分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．正确设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列{bn}的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问．[解答示范](1)解设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.(2分)所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，由(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．(4分)故{bn}的第3项为5，公比为2，由b3＝b1·22，即5＝b1·22，7解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.(6分)(2)证明数列{bn}的前n项和Sn＝54－2n1－2＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2.(8分)所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.(10分)因此Sn＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．(12分)关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．【试一试】(1)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数列{an}唯一，