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第4讲能量观点解决多过程问题命题点一多运动组合问题1．抓住物理情景中出现的运动状态和运动过程，将物理过程分解成几个简单的子过程．2．两个相邻过程连接点的速度是联系两过程的纽带，也是解题的关键．很多情况下平抛运动的末速度的方向是解题的重要突破口．例1(2017·浙江4月选考·20)图1中给出了一段“S”形单行盘山公路的示意图．弯道1、弯道2可看作两个不同水平面上的圆弧，圆心分别为O1、O2，弯道中心线半径分别为r1＝10m、r2＝20m，弯道2比弯道1高h＝12m，有一直道与两弯道圆弧相切．质量m＝1200kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍，行驶时要求汽车不打滑．(sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，g＝10m/s2)图1(1)求汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v1；(2)汽车以v1进入直道，以P＝30kW的恒定功率直线行驶了t＝8.0s进入弯道2，此时速度恰为通过弯道中心线的最大速度，求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功；(3)汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道．设路宽d＝10m，求此最短时间(A、B两点都在轨道中心线上，计算时视汽车为质点)．答案见解析解析(1)设在弯道1沿中心线行驶的最大速度为v1由牛顿第二定律得，kmg＝mv21r1解得v1＝kgr1＝55m/s(2)设在弯道2沿中心线行驶的最大速度为v2由牛顿第二定律得，kmg＝mv22r2解得v2＝kgr2＝510m/s在直道上由动能定理有Pt－mgh＋Wf＝12mv22－12mv21代入数据可得Wf＝－2.1×104J(3)沿如图所示内切的路线行驶时间最短，由图可得r′2＝r21＋[r′－(r1－d2)]2代入数据可得r′＝12.5m设汽车沿该路线行驶的最大速度为v′则kmg＝mv′2r′得v′＝kgr′＝12.5m/s由sinθ＝r1r′＝0.8则对应的圆心角为2θ＝106°路线长度s＝106360×2πr′≈23.1m最短时间t′＝sv′≈1.8s变式1(2016·浙江4月选考·20)如图2所示装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成．其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是h1＝0.20m、h2＝0.10m，BC水平距离L＝1.00m．轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高．当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m＝0.05kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点；当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点．(已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比，g＝10m/s2)图2(1)当弹簧压缩量为d时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小；(2)求滑块与轨道BC间的动摩擦因数；(3)当弹簧压缩量为d时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到B点？请通过计算说明理由．答案(1)0.1J2m/s(2)0.5(3)见解析解析(1)由机械能守恒定律可得E弹＝ΔEk＝ΔEp＝mgh1＝0.05×10×0.20J＝0.1J由ΔEk＝12mv20，可得v0＝2m/s(2)由E弹∝d2，可得当弹簧压缩量为2d时，ΔEk′＝E弹′＝4E弹＝4mgh1由动能定理可得－mg(h1＋h2)－μmgL＝－ΔEk′解得μ＝3h1－h2L＝0.5(3)滑块恰能通过螺旋圆形轨道最高点需满足的条件是mg＝mv2Rm由机械能守恒定律有v＝v0＝2m/s解得Rm＝0.4m当R0.4m时，滑块会脱离螺旋圆形轨道，不能上升到B点；当R≤0.4m时，滑块能上升到B点．拓展点1圆周＋直线＋平抛的组合例2(2017·温州市质检)半径R＝1m的14圆弧轨道下端与一水平轨道连接，水平轨道离地面高度h＝1m，如图3所示，有一质量m＝1.0kg的小滑块自圆弧轨道最高点A由静止开始滑下，经过水平轨道末端B时速度为4m/s，滑块最终落在地面上，试求：(g取10m/s2，不计空气阻力)图3(1)滑块落在地面上时的速度大小；(2)滑块在轨道上滑行时克服摩擦力所做的功．答案(1)6m/s(2)2J解析(1)因滑块经过水平轨道末端B后下落时只有重力做功，所以取滑块经过水平轨道末端B时为初状态，落在地面上时为末状态，根据机械能守恒定律可得(以地面为零势能面)：12mv2B＋mgh＝12mv2＋0，解得v＝v2B＋2gh＝42＋2×10×1m/s＝6m/s.(2)取滑块在圆弧轨道最高点A时为初状态，落在地面上时为末状态，根据动能定理可得W总＝WG＋Wf＝12mv2－0，解得Wf＝12mv2－WG＝12mv2－mg(R＋h)＝12×1×62J－1×10×(1＋1)J＝－2J，即滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做功2J.拓展点2直线＋圆周＋平抛的组合例3(2017·嘉兴市质检)如图4所示，一弹射装置由弹簧发射器和轨道组成．轨道由水平光滑滑道AB与管道BCDE相连接而成，其中BCD是半径R＝0.4m(管道中心到圆心的距离)的竖直光滑圆管道，DE是长度等于0.4m的水平粗糙管道，在D处的下方有一直径略大于物块的小孔，装置都在同一竖直平面内．当弹簧压缩到A弹射物块m1时，恰能使其无初速度地落入D点处的小孔中被收集；当弹簧压缩到A弹射物块m2时，则其落入E左侧紧靠E的容器甲中．已知：m1＝0.05kg，m2＝0.04kg.容器甲高h＝0.2m，长L＝0.4m，上沿与管道下壁在同一水平面．物块大小略小于管道内径，g＝10m/s2.图4(1)当弹簧压缩到A时，求弹簧的弹性势能；(2)求物块m2经过D点时对D点的作用力大小；(3)若物块m2落在容器甲的L2处，求物块m2与管道DE间的动摩擦因数大小.答案(1)0.4J(2)0(3)0.375解析(1)物块m1和弹簧组成的系统机械能守恒，得Ep＝2m1gR＝0.4J(2)从弹簧压缩到A处到物块m2经过D点的过程中，物块m2和弹簧组成的系统机械能守恒，得Ep＝2m2gR＋12m2v2D，由圆周运动规律可得F＋m2g＝m2v2DR，代入数据得在D点管道对物块m2的作用力F＝0，根据牛顿第三定律，物块对D点的作用力大小F′＝0.(3)物块m2离开E点后做平抛运动，有h＝12gt2，vE＝L2t，得vE＝1m/s.从D到E由动能定理可得－μm2gLDE＝12m2v2E－12m2v2D，解得μ＝0.375.命题点二传送带模型问题传送带问题的分析流程和技巧1．分析流程2．相对位移一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量Q＝Ff·x相对，其中x相对是物体间相对路径长度．如果两物体同向运动，x相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，x相对为两物体对地位移大小之和．3．功能关系(1)功能关系分析：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q.(2)对WF和Q的理解：①传送带的功：WF＝Fx传；②产生的内能Q＝Ff·x相对．模型1水平传送带模型例4(2016·温州市期中)倾角为30°的光滑斜面的下端有一水平传送带，传送带正以6m/s的速度运动，运动方向如图5所示．一个质量为2kg的物体(可视为质点)，从h＝3.2m高处由静止沿斜面下滑，物体经过A点时，不管是从斜面到传送带还是从传送带到斜面，都不计其动能损失．物体与传送带间的动摩擦因数为0.5，物体向左最多能滑到传送带左右两端A、B连线的中点处，重力加速度g取10m/s2，求：图5(1)传送带左、右两端A、B间的距离L；(2)上述过程中物体与传送带组成的系统因摩擦产生的热量；(3)物体随传送带向右运动，最后沿斜面上滑的最大高度h′.答案(1)12.8m(2)160J(3)1.8m解析(1)物体从静止开始到在传送带上的速度等于0的过程中，运用动能定理得：mgh－μmgL2＝0－0，解得L＝12.8m.(2)在此过程中，物体与传送带间的相对位移x相＝L2＋v带·t，又L2＝12μgt2，而摩擦产生的热量Q＝μmg·x相，联立得Q＝160J.(3)物体随传送带向右匀加速运动，设当速度为v带＝6m/s时，向右运动的位移为x，则μmgx＝12mv2带，得x＝3.6m＜L2，即物体在到达A点前速度与传送带速度相等，最后以v带＝6m/s的速度冲上斜面，由动能定理得12mv2带＝mgh′，解得h′＝1.8m.变式2(2016·杭州市月考)如图6所示，皮带的速度是3m/s，两轮圆心间距离s＝4.5m，现将m＝1kg的小物体(可视为质点)轻放在左轮正上方的皮带上，物体与皮带间的动摩擦因数μ＝0.15，皮带不打滑，电动机带动皮带将物体从左轮正上方运送到右轮正上方时，求：(g＝10m/s2)图6(1)小物体获得的动能Ek；(2)这一过程中摩擦产生的热量Q；(3)这一过程中电动机消耗的电能E.答案(1)4.5J(2)4.5J(3)9J解析(1)物体开始做匀加速运动，加速度a＝μg＝1.5m/s2，当物体与皮带速度相同时μmgx＝12mv2.解得物体加速阶段运动的位移x＝3m＜4.5m，则小物体获得的动能Ek＝12mv2＝12×1×32J＝4.5J.(2)v＝at，解得t＝2s，Q＝μmg·x相对＝μmg(vt－x)＝0.15×1×10×(6－3)J＝4.5J.(3)E＝Ek＋Q＝4.5J＋4.5J＝9J.模型2倾斜传送带模型例5如图7所示，与水平面夹角θ＝30°的倾斜传送带始终绷紧，传送带下端A点与上端B点间的距离L＝4m，传送带以恒定的速率v＝2m/s向上运动．现将一质量为1kg的物体无初速度地放于A处，已知物体与传送带间的动摩擦因数μ＝32，取g＝10m/s2，求：图7(1)物体从A运动到B共需多长时间？(2)电动机因传送该物体多消耗的电能．答案(1)2.4s(2)28J解析(1)物体无初速度地放在A处后，因mgsinθμmgcosθ故物体斜向上做匀加速直线运动．加速度a＝μmgcosθ－mgsinθm＝2.5m/s2物体达到与传送带同速所需的时间t1＝va＝0.8st1时间内物体的位移x1＝v2t1＝0.8m＜4m之后物体以速度v做匀速运动，运动的时间t2＝L－x1v＝1.6s物体运动的总时间t＝t1＋t2＝2.4s(2)前0.8s内物体相对传送带的位移Δx＝vt1－x1＝0.8m因摩擦产生的热量Q＝μmgcosθ·Δx＝6J整个过程中多消耗的电能E电＝Ek＋Ep＋Q＝12mv2＋mgLsinθ＋Q＝28J.1．如图1所示，传送带与地面的夹角θ＝37°，A、B两端间距L＝16m，传送带以速度v＝10m/s，沿顺时针方向运动，物体m＝1kg，无初速度地放置于A端，它与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，试求：图1(1)物体由A端运动到B端的时间．(2)系统因摩擦产生的热量．答案(1)2s(2)24J解析(1)物体刚放上传送带时受到沿斜面向下的滑动摩擦力和重力，由牛顿第二定律得：mgsinθ＋μmgcosθ＝ma1，设物体经时间t1，加速到与传送带同速，则v＝a1t1，x1＝12a1t21解得：a1＝10m/s2t1＝1sx1＝5m因mgsinθμmgcosθ，故当物体与传送带同速后，物体将继续加速由mgsinθ－μmgcosθ＝ma2L－x1＝vt2＋12a2t22解得：t2＝1s故物体由A端运动到B端的时间t＝t1＋t2＝2s(2)物体与传送带间的相对位移x相＝(vt1－x1)＋(L－x1－vt2)＝6m故Q＝μmgcosθ·x相＝24J.2．(2017·温州市质检)滑板运动是一种陆上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的滑坡上滑行，做出各种动作，给人以美的享受．如图2是模拟的滑板组合滑行轨道，该轨道有足够长的斜直轨道、半径R1＝1m的凹形圆弧轨道和半径R2＝2m的凸形圆弧轨道组成，这三部分轨道处于同一竖直平面内且依次平滑连接．其中M点为凹形圆弧轨道的最低点，N点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O点与M点处在同一水平面上，运动员踩着滑板从斜直轨道上的P点无初速度滑下，经过M点滑向N点，P点距M点所在水平面的高度h＝2.45m，不计一切阻力，运动员和滑板的总质