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18.1.1探索勾股定理人教版八年级数学（下册）——数形结合之美ABCABCA的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图1-1图1-291625163652ABCSA=a2SB=b2SC=c2abcc2=a2+b2如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么c2=a2+b2.abc勾股弦bac又s总=4s1+s2证明：s总=c2cabab2221*4故s2s1化简得c2=a2+b2证明：s总=4s1+s2又s总=c2cabab2221*4故化简得c2=a2+b2bacs2s1商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。什么是勾、股呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾，下半部分称为股。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成勾三股四弦五。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作商高定理。毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和[数]之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇....于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。希腊的著明数学家毕达格拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达格拉斯”定理．为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．由於欧几里得证法的辅助线多了一点,而不如别的证法简洁,所以中世纪欧洲的大学生无不深感头痛,而有「驴桥在此,愚者莫过」之叹!这就是此定理——「几何原本」卷一命题五被称为「驴桥定理」的主要由来。这个史实反映了中世纪欧洲数学的严重衰颓，上述这个定理才只是第一卷第五个命题而已——都已经是“驴桥”了其它的相比更难了。一个周末的傍晚，伽菲尔德突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味．于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。意大利文艺复兴时代的著名画家达芬奇也深深的沉醉在勾股定理的魅力中。abc青朱出入图abc青朱出入图abcabcabcb2=a2+c2c2=a2+b2abc确定斜边a2=b2+c2b2=c2-a2a2=c2-b2c2=a2+b2灵活运用公式？选一选已知△ABC的三边分别是a，b，c，若∠B=Rt∠，则有关系式（）A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.a2-b2=c2D.b2+c2=a2BABC86算一算AC2=AB2+BC2=62+82=100∴AC=√100=10ABC求图中直角三角形的未知边的长度。在Rt△ABC中，根据勾股定理，1517BC2=AC2-AB2=172-152=64∴BC=√64=8在Rt△ABC中，根据勾股定理，ABC（1）若a=5，b=12，则c=___________.试一试在Rt△ABC中，（2）若c=4，b=2，则a=.∠C=900.1323当c是斜边时，c2=a2+b2当b是斜边时，b2=a2+c213或√119y=01、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？应用知识回归生活4米3米一个门框尺寸如下图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，能否通过此门？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？我知道了……我感受了……我做了……c2=a2+b2AB