质点动力学的基本方程10文理

2§9–1动力学的基本定律—牛顿三大定律第一定律:不受力或受平衡力系的质点,将保持静止或匀速直线运动第二定律:质点的质量与加速度的乘积等于作用在质点上的合力的大小,加速度的方向就是合力的方向第三定律:两个物体之间的作用力与反作用力总是同时存在的,且此二力等值、反向、共线,并分别作用在这两个物体上,1。第一定律和第二定律仅对质点运动或作平动的刚体有效。2。第二定律仅在惯性参照系内成立。3。第三定律不仅适用于惯性系，同时也适用于非惯性系下物体之间的相互作用关系。iFam矢量形式的微分方程是:iFdtrdm223★惯性参考系:宇宙万物的运动都是相对的,在分析研究万物运动都必须遵循的客观力学规律时必须有一运动参照系作为标尺,这就是惯性参考系.惯性参考系就是作匀速直线运动的物体,它的外延就是无限大的运动空间.从运动的模型讲惯性参考系是作匀速直线平动的刚体运动.在惯性系内所取的任何形式的坐标系都称为惯性坐标系.绝对作匀速直线平动的物体似乎不存在,实际上惯性系是相对的.对于小尺度的力学问题,地球表面可视为惯性参考系.地球的自转角速度为=7.3×10–5rad/s,地球的半径为6370公里,所以地表面的运动在一较小的范围内可视为直线运动(平动).所以,在一般的工程问题中,把固定于地面的坐标系或相对地面作匀速直线平动的坐标系作为惯性参考系,可得到相当精确的结果.研究大尺度的力学问题,如人造卫星、航天飞机、洲际导弹等运动中的力学问题,地球不能视为惯性系.4§9–2质点的运动微分方程initFsmFsm2iziyixFzmFymFxmiFam式由第二定律的数学表达iFdtrdm22有：矢量形式的微分方程微分方程的直角坐标投影式:微分方程的自然坐标投影式:ibbFma0微分方程的柱坐标投影式:iirFrrmFrrm22izzFma5Fdtrdm22作用在质点的合力为图示的FxFxmyFymzFzm直角坐标下tFsmnFsm2自然坐标下tanaS(t)MFaxyzOMtrFaxayazakzjyixr61》力是时间的函数—直接积分。2》力是常矢量—直接积分。3》力是空间位置（坐标）的函数—作变量替换后再积分。)(tFF)()(),,(FFSFFzyxFF§9–3质点动力学两类基本问题xFxmyFymzFzmtFsmnFsm2已知x=x(t)y=y(t)z=z(t)或S=S(t)(1)已知运动求力–用微分法或代数法。(2)已知力求运动—用积分法.7cvvdS)S(Fmvdv104》力是其他变量的函数—较难积分。例如:）（即）（SFSmSFma）（SFdtdSdSSdmdSSFSdSm）（dSSFmvdv）（cdS)S(Fmvmv20212121c:质点运动的路径.对于质点系或平动刚体系统的动力学问题,需用所谓的“隔离法”对每一个研究对象施用动力学基本方程.8例1.曲柄连杆机构如图示,曲柄OA=r,以匀角速度绕O轴转动,连杆AB=OA=r,设滑块的质量为m,连杆AB的质量不计.求当=0、=/3时连杆AB所受到的力及滑块B所受地面的约束力.xyOAB解:滑块B沿水平轴直线运动滑块的运动方程式为:cosrxB2tcosrxB2tsinrxB2tcosrxB22当=0rxB22取滑块分析受力及运动rmmaFBB22由作用反作用关系可知,AB杆受2m2r的拉力.由动力学基本方程amFi在水平方向的投影BamgNFBFBx9当=/3rxB2取滑块分析受力及运动BBmacosF060tcosrxB22BxBamgNFBF060rmmaFBB222由动力学基本方程amFi在铅垂方向的投影由动力学基本方程amFi在水平方向的投影mgFmN0BamgNFBFBxmgFN由动力学基本方程amFi在铅垂方向的投影mgsinFFmBN0600rmmgFN23xyOAB100OBA例2.小球质量为m，悬挂于长为L的细绳上，绳重不计。小球在铅垂面内摆动。小球在最低处时速度为v0，摆到最高处时小球的速度为零，且绳与铅垂夹角为0.求：1》小球在最低处A和最高处B时绳子的拉力。2》小球在绳子与铅垂成任意夹角时的速度。解:1》取小球在A、B处进行受力及运动分析:mgFLvmo12020cosmgFnFsm2由mgLvmF201对A处位置02cosmgF对B处位置Bgmta2F0Aovnagm1F11BOAStanagmov2》取运动到任意位置的小球分析(求:小球在绳子与铅垂成任意夹角时的速度.)tFSm由得sinmgSmsinLgsingLdsinLgddddtddd由变量替换cosgLvv12202DcosLg22积分得:LgLvDLv222000得由)cos(LgLv122202cosgLvv122012例3.(参见书上例9–3)一圆锥摆.小球质量m=0.1kg,细绳长l=0.3m.小球在水平面内作匀速圆周运动,此时绳与水平面成=60º.求小球的速度及绳子的拉力的大小.解：取小球为研究对象，受力及运动分析如图示.建立自然投影坐标由动力学基本方程iFam0600sinFmg:b方向F.rVm502方向的投影如何?FnamgAO60ºMVbnN.mgF13132060cos:Fmann方向s/m.V..cos...V9208475010603013150021300xxm例4质量为m的质点带有电荷e,以速度vo进入按E=Acoskt变化的电场中,初速度方向与场强方向垂直.已知质点在电场中受力F=－eE,且A、k为常数.忽略质点的重力.求:质点的运动方程和运动轨迹.0xymvFov解:取质点分析其受力建立坐标如图示FEtktAmkeyEktAkmeyktAmeykteAymFymcossincoscos2CxDtCx14000000DvCxvxtt得：102xvkcosmkeAy0xymvFovAmkeFEyytt200000得：由初始条件:两式联立消去t后可得:)kt(cosmkeAytvx120CxDtCxFEtktcosAmkeyEktsinAkmey215例6.(书上例9–4)粉碎机滚筒半径为R,绕通过中心的水平轴匀速转动,筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升.为了使铁球获得粉碎矿石的能量,铁球应在=0时才掉下来.求滚筒每分钟的转数.00解:取位置在0处的小球为研究对象FNFgmna受力及运动情况如图由题意可知,当=0时FN=0.由nFsm202cosmgRm02cosRg0cosRg0cos30260Rgn16例7.滑块B重G=9.8(N).通过固结在滑块上的销钉由摇杆OA带动.在摇杆与水平线夹角=30º时,=2rad/s,=2rad/s²,OB=0.5m.设摇杆的质量与各处的摩擦不计.求:此时,导槽对滑块的约束力及销钉B与摇杆之间的作用力.OAB解:首先对系统进行运动分析.速度分析.30ºaVrVeVBsmVVsmVVsmOBVareae/3130sin/3230cos/15.0200加速度分析.BaaraneaeaCa60º22/25.04smOBane22/3342/1smVasmOBarCe取销钉为动点,OA杆为动系.17xy加速度分析.22/25.04smOBane22/3342/1smVasmOBarCe20/82.330cossmaaaaaCea即是B点的加速度为3.82m/s²取滑块B为研究对象,分析其运动和受力.OABxy30ºNFBFGBaBNFGFmaGFymBBBB73.152330cos0NFFFxmNBN86.730sin00Creneaaaaaa由向y轴方向投影:BaaraneaeaCa03018为了求B点的加速度,我们还可以用‘函数法’.OAB取过滑块的中线与过O点的水平线的交点为坐标原点,建立坐标轴O1yO1yB点的运动方程mOBOO4330cos01tgtgOOyB431222sec43secsec23sec43tgyyBB230/82.3332380smyB2/82.3smaBBa222sec43sec23tgyB19rAVBVxmAB例8.(习9–9)滑块A的质量为m,因绳子牵引而沿水平导轨滑动,绳子另一端缠绕在半径为r的鼓轮上,鼓轮以等角速度转动.若不计导轨的摩擦,求绳子拉力F与距离x的关系.解:由速度投影定理cosABVVxrxxxrxVrA2222xrxrx222223222)(22rxxrxxxrx22232221)(rxrxxxrx222222221)(rxrxxxrx22242rxxrx20rAVBVxmAB22242rxxrx取滑块A分析受力及运动22242rxxraA由动力学基本方程iFam水平方向有:AaFgmNFAcosFmaAxrxFrxxrm22222422522242rxxrmF21例9.(习9–10)一人站在高度为h的河岸上,用绳子拉动m=40kg的小船,如图所示.设他用的力大小不变,为F=150N.开始时,小船位于B点,OB=b=7m,初速度为零.已知OC=c=3cm,水的阻力忽略不计.求小船被拉到C点时所具有的速度.解:x建立坐标如图示小船B端在B、C间任意位置时,可建立动力学方程:22hxxFxm22215040xxxFBObchCBF44152xxx44152xxdtdxdxxd44152xxdxxdx4415222xdxxdCxx2122421522xFBObchCBFCxx21224215由初始条件07xx25315C45321522xx当小船被拉到C点时x=3(m)56.274353215222CvxsmvC/2497.5方向向右.FBObchCBFx如果建立坐标如图示,则有:22)(hxbxbFxm23FBObchCBFx22)(hxbxbFxm4)7(74152xxx4)7(74152xxx4)7(74152xxdtdxdxxd4)7()7(4152xdxxxdx4)7()7()7(4152xxdxxdx44152yydyxdx令y=x–74415222ydyxdCyx21224215Cxx212247215由初始条件00xx25315C4)7(5321522xx