优化方法与应用(十七)N-A广告模型主要内容:——关注的问题——变量与模型——N-A广告模型的一般分析——最优长期稳态均衡解——非线性目标函数的情形优化方法与应用(十七)N-A广告模型主要内容:——关注的问题——变量与模型——N-A广告模型的一般分析——最优长期稳态均衡解——非线性目标函数的情形问题:——如何选择合适的宣传策略(动态广告宣传投资策略),以使得公司在规划期内获得最大的贴现净收益。原始文献——NerloveM.andArrowK.J.OptimalAdvertisingpolicyUnderDynamicConditionsEconomica39(1962)129-142优化方法与应用(十七)N-A广告模型主要内容:——关注的问题——变量与模型——N-A广告模型的一般分析——最优长期稳态均衡解——非线性目标函数的情形销售率生产成本价格净收益宣传费用销售收益商誉折旧分析框架变量的选择状态变量:——t时刻的公司商誉;控制变量:——t时刻公司投入的宣传费用;()Gt()ut()0ut≥参量与函数——贴现率——产品价格——产品销售率——生产成本函数——销售收益()(,)()(,)ptSpGCSRpGρ()0pt≥N-A广告模型000,0(0)()0()0(,)(,)()Max{[(,)]}tpuGuGGGutptRpGpSpGCSJRpGuedtρδ∞−≥≥=−=≥≥=−=−∫初次优化——任意销售率下的定价问题00RSdCSSpppdSp∂∂∂=⇒+−=∂∂∂其中:(1)pCηη∗′⇒=−——垄断企业定价公式dCCdSpSSpη′=∂=−∂——边际成本——需求价格弹性00Max{[()]}(0)()0tJGuedtGuGGGutρπδ∞−=−=−=≥∫记:(,)()RpGGπ∗=则对应的最优宣传策略问题为:优化方法与应用(十七)N-A广告模型主要内容:——关注的问题——变量与模型——N-A广告模型的一般分析——最优长期稳态均衡解——非线性目标函数的情形现值哈密顿()HuuGπλδ=−+−——t时刻新增商誉的贡献——t时刻的当前利润率——t时刻的商誉增量()()()uuGuGtHtπδλδλ−−−——t时刻商誉的影子价格——t时刻动态利润率共态方程()()HGuuGHGπλδλρλ=−+−=−∂∂()Gλρδλπ⇒=+−∂∂()ddtGdtρδλλπ=+∂+∂单位商誉边际收益=单位商誉边际成本无限时间问题的横截条件lim()0ttetρλ−→∞⇒=时商誉影子价格的贴现值为零。t→∞[()()]0,()()tttxttetρλδλλ−→∞==最优商誉表达式——需求商誉弹性****()()(1)()[()]GSSGpSGCSpCGSpGπηηλρδλπβηδρλλβ∂==−′=−=+−∂∂⇒+∂=−由:优化方法与应用(十七)N-A广告模型主要内容:——关注的问题——变量与模型——N-A广告模型的一般分析——最优长期稳态均衡解——非线性目标函数的情形最优长期稳态均衡解()()HuuGGuGGπλδδλρδλπ=−+−=−=+−∂∂令:**0100()HuGSpGλβληδρ∂∂===⇒==+最优长期稳态均衡解GG0G*uuGδ==•t••最优长期稳态均衡解GG0G*uuGδ==•t••*0u=优化方法与应用(十七)N-A广告模型主要内容:——关注的问题——变量与模型——N-A广告模型的一般分析——最优长期稳态均衡解——非线性目标函数的情形非线性目标函数的情形12(,)()()uGuGππππ==+1122[0,)00[0,)00uGππππ′′′∀∈∞′′′∀∈∞假定:状态方程:目标函数:0(0)GuGGGδ=−=1200Max{[()()]}tuJuGuedtρππ∞−≥=+−∫非线性目标函数的情形非线性目标函数的情形12()()()HuGuuGππλδ=+−+−HGλρλ=−∂∂2()()Gλρδλπ′⇒=+−0Hu∂∂=1()10uπλ′⇒−+=020(0)()()(0)GuGGGGδλρδλπλλ=−=′=+−=1020((0)(0))(())GGGGGfλλλλρδλδπ′−++=⇒===+101()101[(0)],()uuufπλλπλ′−+=′⇒=−=()空间相图分析,GλGλ11(0)π′−1λ(,)Gλ2()()Gρδλπ′+=1()Gfδλ=G1区2区3区4区••••••2()()00Gρδλπλ′+−⇒1()00GfGδλ−⇒1区、2区:3区、4区:1区、3区:2区、4区:{,,}GGuGδλλ===快车道:1()00GfGδλ−⇒相空间不同区域的动力学行为2()()00Gρδλπλ′+−⇒Gλ1λ2()()Gρδλπ′+=1()Gfδλ=G•••••••••相空间不同区域的动力学行为11(0)π′−•Gλ1λG•••••相空间不同区域的动力学行为11(0)π′−•Gλ1λG•••••最优宣传策略11(0)π′−•0GG0G•0λ*10(0)()ufλ={,,}GGuGδλλ===Gλ1λG•••••最优宣传策略11(0)π′−•0GG0G•0λ*10(0)()ufλ={,,}GGuGδλλ===