竹蜻蜓的动力学分析

竹蜻蜓的动力学分析梁泓（161240035）马越（161240047）鄢家武（161232051）竹蜻蜓概述竹蜻蜓是一种中国传统的民间儿童玩具之一，流传甚广。竹蜻蜓由两部分组成。一是竹柄。二是“翅膀”。玩时，双手一搓，然后手一松，竹蜻蜓就会飞上天空。旋转一会儿后，才会落下来。它是中国古代一个很精妙的小发明，这种简单而神奇的玩具，曾令西方传教士惊叹不已，将其称为“中国螺旋”。二十世纪三十年代，德国人根据“竹蜻蜓”的形状和原理发明了直升机的螺旋桨。——百度百科几种常见的竹蜻蜓更普遍的定义在这里我们给竹蜻蜓做一个更广泛的定义：从平面直角坐标系上观察，它是一个关于z轴对称的结构，具有数个形状相同的叶片。叶片的对称轴均在XOY平面上，而每个叶片相对XOY平面都转过一角度𝜃。整个竹蜻蜓以z轴为转动轴。一、理想情况下简单的动力学模型考虑理想情况，假设竹蜻蜓释放时没有初速度，转动轴铅直。作为一个粗略的近似，把竹蜻蜓叶片与空气分子间的相互作用视为弹性碰撞，且认为空气密度均匀，碰撞前为静止。而且，我们只考虑竖直方向速度较小的情况，也就是忽略竖直方向风力。考察单个叶片的情况，假设空气密度为𝜌，叶片倾斜角度𝜃，距离转轴r处的宽度为d=d（r），角速度为𝜔，则r处绝对速度即为𝜔r按照此假设，对r处的微元dr使用动量定理并积分可得：𝐹=2𝜔2𝜌𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑(𝑟）𝑟2𝑅0𝑑𝑟且F的方向垂直叶片平面（如果将叶片视作长方体，d为常量，则可得𝐹=23𝜔2𝜌𝑅3𝑑𝑠𝑖𝑛2𝜃）倾斜角和叶片几何形状的影响首先探究竹蜻蜓叶片适合的倾斜角度由于2𝜌𝑑(𝑟）𝑟2𝑅0𝑑𝑟只与叶片的几何形状和空气密度有关，所以我们暂且将它记作常量A，则风力的表达式简化为F=𝐴𝜔2𝑠𝑖𝑛2𝜃此力有两个作用效果1、提供升力Fy=𝐴𝜔2𝑠𝑖𝑛2𝜃cos𝜃2、产生阻力矩𝑀=𝐴𝜔2𝑠𝑖𝑛3𝜃𝑙(其中l为风力的力心到转动轴的距离，也仅与叶片的几何形状有关）对升力表达式求导，则可解得在𝜃约为54度时，相同角速度下的升力最大但是在实际情况下我们所见的竹蜻蜓叶片倾斜角一般都较小。这是因为，当倾斜角度较大时，阻力矩也很大，角速度迅速减小，最终反而导致升力的减小。升力大小不能直接决定竹蜻蜓的性能运动时间是衡量竹蜻蜓性能的主要因素我们将竹蜻蜓的运动时间定义为转速衰减到一定值所经历的时间（这一点是基于它的观赏性而定义的）。在用运动时间定义竹蜻蜓性能的前提下，我们再去探究倾斜角和叶片几何形状对它的性能影响。通过对前面求得的力矩表达式进行积分，我们可以得到角速度与时间t的关系（n代表叶片的个数）这意味着角速度需要经过无限长，或者说非常长的时间（在考虑摩擦阻力时）才会减为零（这和日常生活中观察到的情况比较接近，在实际情况下我们一般不会观察到竹蜻蜓的转动完全停止）。所以我们需要以衰减到某特定值的时间来定义运动时间倾斜角度的影响当最终的角速度一定时，我们可以得到运动时间为：这也就是说，其他条件相同，倾斜角度越小时，我们所定义的运动时间越长但这并不意味着倾斜角度越小越好考虑竹蜻蜓在竖直方向的运动，为了使它向上飞行，初始时的升力大小应该满足：也就是：Y=(sinx)^2cosx的示意图为满足竖直方向的运动情况，倾斜角度应有最小值，此值由竹蜻蜓的质量、几何形状和初始角速度决定。而且，此最小值即为倾斜角在给定情况下的最佳角度。另外，结合升力的表达式，我们可以得到竹蜻蜓的质心在竖直方向的运动情况：这里对竖直方向的运动情况做一些定性的分析几何形状的影响考虑两方面的问题1、叶片本身宽度分布2、外加结构（已经有这样的产品出现）依然从这个式子出发倾斜竹蜻蜓在空中运动的姿态O大家在玩竹蜻蜓的时候，想必都注意到了这么一个现象。竹蜻蜓释放时，若其对称轴与竖直方向有一定倾角，只要叶片所在的一端（称为前端或头）不指向下，竹蜻蜓的头都会重新抬起来。我们先将这种倾斜夸大，即讨论其对称轴水平时的情况。而在讨论之前，我们必须给出这样一种很自然而然的假设，即，我们使竹蜻蜓转动的方向都是能使其升空的方向。如图所示，当竹蜻蜓释放后，其在重力的作用下会向下掉，获得微小的速度dv，这将导致右侧叶片的速度增大dv，左侧速度减小dv。进而右侧叶片受力大于左侧受力，它们各自沿叶片面的分力F₁F₂。叶片两侧受力不平衡。取质心参考系，则叶片所受合力对过质心，的水平轴有力矩M，作用效果即是使竹蜻蜓前端抬起。dv𝜔r+dv𝜔r-dvF₁F₂M当竹蜻蜓前端抬起后，叶片受空气的作用力使得竹蜻蜓具有了向前的速度，但无论其是向前或者是向下运动，其右侧受到的力沿叶片面的分力F₁总是大于其左侧受到力的分力F₂，因此，竹蜻蜓前端将继续抬起。以上所述，就是向上倾斜的竹蜻蜓因质心具有速度而抬起前端的机理。而若竹蜻蜓并不向上倾斜，而是向下倾斜。这时，为了使竹蜻蜓向上升起，竹蜻蜓的转动方向将会调转，于是，按照之前的方法，可以得出竹蜻蜓的头将会继续向下倾斜而至其对称轴竖直的结论。这里不再讨论。v𝜔r-v𝜔r+vF₂F₁M这里，尽管同时绕着过质心的水平轴转动的竹蜻蜓可以看作是一个绕质心作定点运动的对称刚体，它发生的进动以及章动将一定程度上阻止其对称轴的偏转，但这里由于风力对竹蜻蜓的力矩的作用远大于其产生进动和章动的回转力矩，因此竹蜻蜓的对称轴最终仍然会趋于竖直。关于正转、反转的竹蜻蜓的稳定性根据以上讨论，竹蜻蜓飞行时，它的轴最终总是倾向于竖直，而竖直却分头向上和头向下两种状态。而根据我们的观察，感觉上，头向下飞的竹蜻蜓比头向上飞的竹蜻蜓更加稳定。而这种感觉是否正确呢？我们不能确定。也不能找到确切的理由说明哪一种状态的竹蜻蜓更加稳定。或许因为反转的竹蜻蜓其重心更低，能量更低，因而更加稳定。但重心可以依竹蜻蜓被释放的高度而变，但我们并不觉得蹲着释放的头向上的竹蜻蜓比站着释放的头向下的竹蜻蜓稳定。另外一种可能（很玄乎）的解释是，因为竹蜻蜓的升力来自于起叶片转动会向下方吹风，这种风力可以感觉到是比较大的，若头向上，则下面的棒将会与流动的空气作用，这样就会对竹蜻蜓的运动产生扰动，使得其这种运动看起来相比之下更加不稳定。又或者，正确的是另外一种解释......竹蜻蜓进动情况在真正玩竹蜻蜓的时候，我们并不只是想其直上直下，而是想使其往其它方向飞行，这时我们会将旋翼浆盘朝其它方向倾斜，或者竹蜻蜓会在飞行过程中受到其它扰动导致本身的倾斜。在上述情况下，倾斜并旋转的竹蜻蜓，所受拉力也是倾斜的，拉力的竖直方向分量对抗重力，水平方向分量驱使竹蜻蜓向前飞行，但这种前飞的驱使不能一直维持，其飞行姿态以及飞行轨迹会产生变化，如下图所示。定性分析（一般情况，有倾斜角与质心水平初速度）飞行时候，如右图所示，依据前飞方向将桨盘分为左、右两部分，桨盘左顶点为A，右顶点为B.当桨叶处于左侧桨盘时称为后行桨叶:另一桨叶则处于桨盘右侧，称为前行桨叶.当桨叶处于某一位置时，𝑣𝑒为竹蜻蜓质心对地的平动速度，𝑣𝑟𝐵与𝑣𝑟𝐴则分别是两顶点在质心系中的速度，由速度合成原理得𝒗𝒂𝑨=𝒗𝒆+𝒗𝒓𝑨𝒗𝒂𝑩=𝒗𝒆+𝒗𝒓𝑩可见两顶点对地速度大小方向均不一致。现考虑空气在A、B两点相对于桨叶的流动速度，可以看出B点空气相对流速大于A点，则由空气动力学可知，作用在桨叶上B点处的空气动力沿拉力方向的分量值会大于A点的相应值。上述分析虽然只是针对特殊的桨叶位置，但是“前行区域桨叶对拉力的贡献比另一侧后行桨叶的贡献大”应该是始终成立的一般结论。因此，在半个转动周期里，总体上看旋翼桨盘的前行区域对拉力的贡献始终大于后行区域，就如同右侧前行桨盘部分受到一个较大的力，记为Fforward:另一侧后行桨盘却受到一个较小的拉力作用，记为Fback，这种左右不对称的力会对竹蜻蜓的质心产生力矩作用，此力矩可记为MC(F)，C点为竹蜻蜓的质心，如右图所示。则竹蜻蜓的自转轴将会在MC(F)的作用下产生进动。此时可以粗略地得到进动角速度Ω的表达式：𝑴𝒄𝑭=𝛀×𝑳𝑪其中𝑳𝑪为竹蜻蜓关于自转轴的动量矩但仔细分析，就会发现由于桨叶一直在旋转，其受到的瞬时力矩的方向也会一直改变。桨叶处于A点和B点连线位置，瞬时力矩方向指向正后上方，但随着桨叶旋转，瞬时力矩方向渐渐指向B点，直到桨叶恰好沿着前后方向，此时其绝对速度大小相同，所受升力大小相同，力矩为零，越过这条线后，后行桨叶处于A点前方，前向桨叶处于B点后方，力矩又随之出现了，并且方向由指向A点慢慢偏向正后上方，直到桨叶回到AB位置，完成一个周期.。上述转动过程中，可以将力矩分解，分解成指向正后上方的以及沿AB的。可见指向正后上方的力矩始终大于等于0，其大小成周期性变化，而方向沿AB的力矩方向会改变，周期性（与自转周期相等）地指向A、B两端。其中指向正后方的分力矩使得竹蜻蜓侧向运动，即表现出来的转向；而沿AB方向不断改变的分力矩使其前后振动，且理想情况每半个周期内的振动可以互相抵消。但实际上由于转速降低，其前后方向的振动不能完全抵消，会使其向某个方向偏转。侧向摆振的情况取决于桨叶的个数和自转的快慢.。自转角速度一定时，桨叶个数越多，摆振频率越高，幅值越小。桨叶个数一定时，自转角速度越大，摆振频率越高，幅值也越小。这里我们可以通过用手控制倾斜竹蜻蜓自转角速度的方法来观察侧向摆振的频率和幅值.自转角速度较小时，摆振频率较小，幅值较大.只有倾斜角或只有质心水平初速度只有倾斜角若开始时竹蜻蜓只有倾斜角而无初速度，可以知道其所受拉力与重力不在竖直方向上，则必有向某个水平方向的分力，随之便可获得水平方向的速度只有质心水平初速度由分析得两桨叶的绝对速度不一样，竹蜻蜓必受到力矩作用使其倾斜可见上述两种情况最终都会转换为之前讨论的一般情况实际上，就算释放时无质心水平初速度也无倾斜角也极有可能出现之前描述的轨迹，可能原因如下：1、运动时受到围绕获得了倾斜角或质心水平初速度2、桨叶旋转平面与平衡杆不垂直，即竹蜻蜓重心不在杆上2中情况较为复杂，有兴趣可以讨论一下存在的问题以及，一些联想。。。参考文献1、田爱平.姜爱民.张慧.从竹蜻蜓到直升机旋翼.力学与实践.20162、刘延柱.竹蜻蜓与回旋镖.力学与实践.20083、赵凯华.新概念物理教程.力学