【人教A版数学】2012版大一轮复习-2.5 对数与对数函数

§2.5对数与对数函数基础知识自主学习要点梳理1．对数的概念(1)对数的定义如果ax＝N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．x＝logaNaN(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a≠1)常用对数底数为自然对数底数为logaNlgNlnN10e2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝；②logaMN＝；③logaMn＝(n∈R)；④＝.(2)对数的性质①＝；②logaaN＝(a0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝.logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaMnmlogaMNNlogbN=logaNlogablogadnaMmlogNaalog3．对数函数的图象与性质a10a1图象(1)定义域：(2)值域：(3)过点，即x＝时，y＝(4)当x1时，当0x1时，(5)当x1时，当0x1时，性质(6)在(0，＋∞)上是(7)在(0，＋∞)上是(0，＋∞)R(1,0)10y0y0y0y0增函数减函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线对称．y＝x[难点正本疑点清源]1．关于对数的底数和真数从对数的实质看：如果ab＝N(a0且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，即b＝logaN.它是知道底数和幂求指数的过程．底数a从定义中已知其大于0且不等于1；N在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的．2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1和a1进行分类讨论．3．关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较．基础自测1．写出下列各式的值：(1)log26－log23＝________；(2)lg5＋lg20＝________；(3)log53＋log513＝______；(4)log35－log315＝________.解析(1)log26－log23＝log263＝1；(2)lg5＋lg20＝lg100＝2；(3)log53＋log513＝log51＝0；(4)log35－log315＝log313＝－1.120-12．若log2a0，12b1，则a、b的取值范围分别是：______、________.解析∵log2a0＝log21，∴0a1.∵12b1＝120，∴b0.0a1b03．若在R上为减函数，则a的取值范围是__________．解析由题意得0log12a1，解得12a1.12，1xay)(log214．(2010·浙江)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α等于()A．0B．1C．2D．3解析由f(α)＝1得log2(α＋1)＝1，∴α＋1＝2，∴α＝1.B5．(2009·广东)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于()A.12xB．2x－2C．D．log2x解析函数y＝ax(a0，且a≠1)的反函数f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x.Dx21log题型分类深度剖析题型一对数式的化简与求值例1计算：(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)lg32－lg9＋1·lg27＋lg8－lg1000lg0.3·lg1.2；(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．思维启迪(1)lg2·lg50没有办法直接化简，可考虑提取公因数lg2.(2)将根号下配成完全平方的形式，开根号．(3)利用换底公式，是本题的切入口．解(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝lg32－2lg3＋1·32lg3＋3lg2－32lg3－1·lg3＋2lg2－1＝1－lg3·32lg3＋2lg2－1lg3－1·lg3＋2lg2－1＝－32.(3)原式＝lg2lg3＋lg2lg9·lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3·lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.探究提高(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．变式训练1化简或求值：(1)log2748＋log212－12log242－log22；(2)2log525＋3log264；(3)12ln(2x＋2x2－1)＋ln(x＋1－x－1)(x1)；(4)已知3a＝5b＝c，且1a＋1b＝2，求c的值．解(1)原式＝log2748＋log212－log242－log22＝log27×1248×42×2＝log2122＝(2)2log525＋3log264＝2log552＋3log226＝2×2＋3×6＝22..232log232(3)原式＝12ln[(x＋1)＋2x＋1x－1＋(x－1)]＋ln(x＋1－x－1)＝12ln(x＋1＋x－1)2＋ln(x＋1－x－1)＝ln[(x＋1＋x－1)(x＋1－x－1)]＝ln[(x＋1)2－(x－1)2]＝ln2.(4)由3a＝c得：logc3a＝1，即alogc3＝1，∴logc3＝1a；同理可得1b＝logc5，又由1a＋1b＝2，得logc3＋logc5＝2，∴logc15＝2，∴c2＝15，∵c0，∴c＝15.题型二比较大小例2比较下列各组数的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log67，log76；(3)m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1；(4)若0ab1，试确定logab，logba，的大小关系．解(1)∵底数21，∴函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，又∵3.48.5，∴log23.4log28.5.(2)∵log67log66＝1，log76log77＝1，∴log67log76.(3)由指数函数的性质：∵00.91，而5.10，∴00.95.11，即0m1.baab11log,log又∵5.11，而0.90，∴5.10.91，即n1.由对数函数的性质：∵00.91，而5.11，∴log0.95.10，即p0.综上，pmn.(4)∵0ab1，由对数函数的性质可知0logab1，logbalogbb＝1.∵loga＝1loga1b＝－1logab，∴loga0，且|loga|1.又logb＝logabloga1a＝－logab，∴logb0，且|logb|1.∴logbalogablogbloga.b1b1b11a1a1a1ab1探究提高若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．变式训练2比较下列各组数的大小：(1)log323与log565；(2)log1.10.7与log1.20.7；(3)已知，比较2b,2a,2c的大小关系．解(1)∵log323log31＝0，log565log51＝0，∴log323log565.(2)方法一∵00.71,1.11.2，∴0log0.71.1log0.71.2，∴1log0.71.11log0.71.2，即由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.cab212121logloglog方法二作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象．如图所示两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.(3)∵y＝log12x为减函数，且，∴bac，而y＝2x是增函数，∴2b2a2c.cab212121logloglog题型三与对数函数图象有关的问题例3作出函数y＝log2|x＋1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数y＝log2x的图象经过怎样的变换而得到．思维启迪从基本函数y＝log2x入手到y＝log2|x|再到y＝log2|x＋1|.解作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)．探究提高作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来．一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象．变式训练3已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0a－1b1B．0ba－11C．0b－1a1D．0a－1b－11解析首先由于函数φ(x)＝2x＋b－1单调递增，可得a1；又－1f(0)0，即－1logab0，所以a－1b1，故0a－1b1.A题型四与对数函数性质有关的问题例4已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围．思维启迪a0且a≠1，问题等价于在[0,1]上恒有a12－ax0.解∵a0，且a≠1，∴u＝2－ax在[0,1]上是关于x的减函数．又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈[0,1]时，u＝2－ax恒为正数．其充要条件是a12－a0，即1a2.∴a的取值范围是(1,2)．探究提高研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则．研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易错点为：易忽略2－ax0在[0,1]上恒成立，即2－a0.实质上是忽略了真数大于0的条件．变式训练4已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,3)C．(0,1)∪(1,3)D．(3，＋∞)解析记u＝(3－a)x－a，当1a3时，y＝logau在(0，＋∞)上为增函数，u＝(3－a)x－a在其定义域内为增函数，∴此时f(x)在其定义域内为增函数，符合要求．当a3时，y＝logau在其定义域内为增函数，而u＝(3－a)x－a在其定义域内为减函数，∴此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求．当0a1时，同理可知f(x)在其定义域内是减函数，不符合题意．B思想与方法2．以“数”助“形”——数形结合思想的应用试题：(12分)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a0且a≠1)．求证：(1)函数f(x)的图象总在y轴的一侧；(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.审题视角(1)要证明f(x)的图象总在y轴的一侧，说明f(x)的自变量只能在(0，＋∞)或(－∞，0)取值．(2)可以在f(x)上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明k＝y2－y1x2－x10即可．规范解答证