一电力线

一.电力线表示电场方向：曲线上每一点的切向为该点的场强方向AEBE§8-3静电场的高斯定理AB表示场强大小：电力线的疏密程度表示场强的大小EdSdNE电力线的性质：电力线起于正电荷(或无限远处)，终于负电荷(或无限远处)，不会形成闭合曲线。两条电力线不会相交。说明：电场是连续分布的，分立电力线只是一种形象化的方法。二.电场强度通量电通量：通过电场中任一给定面的电力线数SEE均匀电场中：平面S的法矢与场强成角SEESES平面S与场强垂直cosES则则SSnS非均匀电场中，对任意曲面S：EndS在S上任取一小面元dSEdSdESdESEEd当S是一个闭合曲面时SESdESSdEndSnn:对闭合曲面，自内向外为正方向Sd三.高斯定理高斯定理：静电场中任一闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和除以0SESdE即闭合曲面S称为高斯面内Siq01Sq简证包围点电荷q的球面,且q处于球心处SESdESdSESEdS220441rrq0q推论：对以q为中心而r不同的任意球面而言，其电通量都相等'SqS包围点电荷q的任意闭合曲面S'S以q为中心作一球面S’SESdE0q通过S’的电力线都通过S不包围点电荷q的任意闭合曲面SqS穿入、穿出S的电力线数相等0E点电荷系q1、q2、…qn电场中的任意闭合曲面SiEiSdE对qi：0/iq在S内在S外0S1q3qiqnq2qSESdEEnEE21SdEEESn21内Siq01VEdV01对连续分布的带电体为电荷体密度，V为高斯面所围体积讨论：当，E0，即有电力线从正电荷发出并穿出高斯面，反之则有电力线穿入高斯面并终止于负电荷。0iq电力线从正电荷出发到负电荷终止，是不闭合的曲线----静电场是“有源场”高斯面上的场强是总场强，它与高斯面内外电荷都有关E为高斯面内的一切电荷的代数和，即电通量只与高斯面所包围正负电荷代数和有关，与高斯面外电荷无关q四.高斯定理应用举例一般步骤:分析电场所具有的对称性质选择适当形状的闭合曲面为高斯面计算通过高斯面的电通量令电通量等于高斯面内的电荷代数和除以o，求出电场强度[例7]求均匀带正电球体内外的场强分布。设球体半径为R，带电量为Q。解：带电球体的电场分布具有球对称性取与球体同心球面为高斯面，高斯面上场强大小相等，方向与面元外法向一致RQrSEsdESEdsSdsE24rErR时：外ErE240QRQr2041rQE外rrQE3041外或RrrrR时：内ErE24dV0130341r3)34(RQ03324QRrEr内304RQrE内得RrrEr0RrRQE304内或2041rQE外[例8]求均匀带正电的无限大平面薄板的场强分布。设电荷面密度为。EE解：电场的分布具有面对称性高斯面取为两底与板面对称平行，侧面与板面垂直的圆柱形闭合面SEsdE12SE01S02E得2S1S3SEE方向垂直于板面向外231SSSsdEsdEsdE[例9]求均匀带正电的无限长细棒的场强分布。设棒的电荷线密度为hrP2S1S3S解：电场分布具有轴对称性，任一点处的场强方向垂直于棒辐射向外以棒为轴作半径为r、长为h的圆柱闭合面为高斯面SEsdE321SSSsdEsdEsdE3SsdE3SdsErhE202hrhE由高斯定理有rE02或rrE202hrP2S1S3S[例10]一半径为R的带电球体，其电荷体密度，K为正整数，为球心到球内一点的矢径的大小。求此带电体所产生的电场强度的分布。2Krr解：在球体内(),取半径为的球面为高斯面,所含电量RrrqrvrdrdVq024RrrvrdrdVq024554Kr由高斯定理有502544rKErsdE内035KrE内)(RrRr在球体外(),取半径为的球面为高斯面,所含电量Rrrq502544KRdrrqR由高斯定理有502544RKErsdE外2055rKRE外)(RrRr一.静电场力作功的特点crEabqarbr试探电荷q0在q的电场中，沿任意路径从a移动到bld取位移元dr§8-4电场力的功电势ldldFdAldEq0dlEqcos0Edrq0crEabqarbrdrldbaoabEdrqAbarrdrrqq20041)11(400barrqq----与路径无关在q1、q2、qn点电荷系电场中移动baabldEqA0banldEEEq)(210)11(400ibiaiirrqq----与路径无关对连续分布带电体可得同样结果结论：电场力所作的功只与试探电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无关0ldEL----静电场环流定理----静电场是保守场，静电力是保守力路径闭合时LoldEqA0二.电势能设Wa和Wb分别表示试探电荷q0在a点和b点的电势能baabldEqA0当电荷分布在有限区域内时，通常选无限远处为零电势能参考点aaAW)(abWWaldEq0三.电势0qWUaa定义：----单位正电荷从a点移到无限远处时静电场力所作的功aldE任意两点a和b之间的电势差(电压)为babaldEldEUUbaldE说明：电势的单位为J/C，称为伏特，记作V当电荷分布不是在有限区域内时，则不能将无限远处选择为零势点，要根据具体情况，选择合适的零电势点baabldEqA0)(0baUUqbabaldEUU四.电势的计算1.点电荷q电场中的电势aaldEUrdrrq2041aEdrrq041arq取无限远处为零电势参考点，a点电势为q0：各点的电势为正，离q愈远电势愈低，在无限远处电势最低并为零。q0：各点的电势为负，离q愈远电势愈高，在无限远处电势最高并为零。rqU041讨论：2.点电荷系电场中的电势对q1、q2、qn构成的点电荷系aaldEUanldEEE)(21anaaldEldEldE21nUUU21niiirq104niiaUU1点电荷系电场中某点的电势等于每个点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和。----静电场的电势叠加原理Q3.连续分布电荷电场中的电势dUUardq041dq任取一电荷元dq，a点的电势为ar[例11]四个电量均为q的点电荷，分别放在边长为a的正方形的四个顶点上，求(1)正方形中心O处的电势；(2)如果将试探电荷q0从无限远处移到O点，电场力作功多少？2ar1q2q3q4qOaaaa解：(1)O点到四个顶角的距离均为2arrqUii410041rq4410aq02根据电势叠加原理有2ar1q2q3q4qOaaaa(2)将q0从无限远处移到O点，电场力所作的功为)(00UUqA)0(00Uqaqq0022ar1q2q3q4qOaaaa[例12]试计算半径为R、均匀带电为q的细圆环轴线上任一点a处的电势。xaxrRO解：在圆环上任取一线元dl，所带电量为dldqdlRq2rdqdU0422028xRRqdldUURxRRqdl20220282204xRqUxOxPxrRO也可由场强求解2/3220)(41xRqxE积分路径取轴向xPxrROxldEUxEdxxdxxRqx2/320)(42204xRq讨论：环心处：x＝0RqU004xR，则xqU04----相当于点电荷的电势xPxrRO2204xRqU[例13]一半径为R的均匀带电球壳，所带电荷为q，求空间任一点a的电势Rq解：由高斯定理可得04130rrqERrRrSESdE内Siq01r为a到球心的距离raldEUrEdrRqRr时：raldEURRrldEldERRrdrrqdl2040Rq04Rr时：raldEUrdrrq204rq04RqRqUr0R讨论：球壳内任一点的电势与球壳的电势相等(等势)球壳外的电势与球壳上的电荷集中于球心的点电荷的电势相同rqUa04RqUa04[例14]求无限长均匀带电直线外任一点a处的电势。已知电荷线密度为ba解：无限长均匀带电直线的场强大小为rE02在通过a点并与带电直线垂直的线上取一参考点bbabaldEUU)ln(ln20abrrbarrdrr02barrEdr取rb＝1m，Ub＝0aarUln20ba讨论：r1m处，U0r1m处，U0一.等势面等势面:电势相等的点所组成的曲面静电场中等势面特点:沿等势面移动电荷，电场力不作功§8-5等势面场强与电势的关系证：设点电荷q0沿等势面从a点移到b点)(0baabUUqA0则电力线和等势面正交证：设等势面上任一点P处的场强为EldEqdA0因均不为零ldEq,,0ldEEldP当点电荷q0在P点沿等势面有一微小位移时有ld0点电荷等量异号点电荷二.场强与电势的关系设场中有两个相距很近的等势面1和2，电势分别为U和U＋dU(dU0)设P点处场强沿法向0nP0n12UdUUQld单位正电荷从P移到Q时ldEdAPQdlEldUdlEcos)(dUUUdUdlEldldUEl----场强某方向分量为电势沿该方向变化率的负值P0n12UdUUQldndEdAPRdUEdnP0n12UdUUQldndR时，即沿从P到R00ndndUE负号表示的方向与原设方向相反E----电势降方向lEE0ndndUEUgradkzUjyUixUUgrad在直角坐标系中xUEx)(kzUjyUixUEyUEyzUEz讨论：静电场各点场强的大小等于该点电势空间变化率的最大值，方向垂直于等势面指向电势降的方向在电势不变的空间，电势梯度为零，所以场强必为零电势为零处，场强不一定为零；场强为零处，电势也不一定为零[例15]应用电势梯度的概念，计算半径为R、电荷面密度为的均匀带电圆盘轴线上任一点P的电场强度ROxPx'rrdr解：取半径为r宽为dr的圆环rdrdq22204xrdqdU2202xrrdr由电势叠加原理有dUURxrrdr02202][2220xxRROxPx'rrdrP点电场强度在x