2013高考数学(江苏专版)二轮专题课件：第一部分 专题6 三角函数的图象与性质

第一部分专题6小题基础练清增分考点讲透配套专题检测备考方向锁定返回返回返回回顾2008～2012年的考题，2008年第1题考查了三角函数的周期性，2009年第4题考查了函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和周期，2010年第10题考查了三角函数的图象和性质，2011年第9题考查了函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质，2012年没有考查.预测在2013年的高考题中：(1)填空题依然是考查三角函数图象与性质，随着题目设置的顺序，难度不一.(2)在解答题中，三角函数的化简以及三角函数的性质依然是解答题第一题的考查点，也可能与解三角形或平面向量结合命题.返回返回1.(2011·江苏高考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．解析：由图象可得A＝2，周期为4×7π12－π3＝π，所以ω＝2.将7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2kπ＋32π，即φ＝2kπ＋π3，所以f(0)＝2sinφ＝2sinπ3＝62.答案：62返回2．(2012·南京第二次模拟)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则ω的值为______．解析：由图可知函数的最大值为2，故A＝2.由f(0)＝2，可得sinφ＝22，而|φ|π2，故φ＝π4；再由fπ12＝2可得sinωπ12＋π4＝1，故ωπ12＋π4＝π2＋2kπ，又T4π12，即Tπ3，故0ω6，故ω＝3.答案：3返回3．定义在区间0，π2上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．解析：画出函数的图象，如图所示，由y＝6cosx与y＝5tanx联立成方程组得：6cosx＝5tanx，即6cosx＝5sinxcosx，也即6sin2x＋5sinx－6＝0，解得sinx＝23或sinx＝－32(舍去)，故P1P2＝sinx＝23.答案：23返回4．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，－π2φπ2，给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝π12对称；②它的图象关于点π3，0对称；③它的周期为π；④在区间－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的两个命题：(1)________________；(2)________________．返回解析：①③成立时，f(x)的图象可能为下图中的一个．但图2不能满足－π2φπ2.在图中可得端点A－π6，0，Bπ3，0，故②④成立．同理②③成立时，①④成立．答案：①③⇒②④；②③⇒①④返回5．(2012·江苏命题专家原创卷)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0φπ，ω0)为偶函数，且函数y＝f(x)的图象的两条对称轴之间的最小距离为π2，则f(x)的解析式为_____．解析：f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sinωx＋φ－π6，由题意得2πω＝2×π2，所以ω＝2.则f(x)＝2sin2x＋φ－π6.因为f(x)为偶函数，所以f(0)＝2sinφ－π6＝±2，φ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，又因为0φπ，故φ－π6＝π2，即f(x)＝2sin2x＋π2，所以f(x)＝2cos2x.答案：f(x)＝2cos2x返回返回[典例1](1)给出下列六种图象变换方法：①图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；③图象向右平移π3个单位长度；④图象向左平移π3个单位长度；⑤图象向右平移2π3个单位长度；⑥图象向左平移2π3个单位长度．返回请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sinx的图象变换到函数y＝sinx2＋π3的图象，那么这两种变换的序号依次是________(填上一种你认为正确的答案即可)．(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，φ∈[0,2π))的图象如图所示，则φ＝________.返回[解析](1)y＝sinx④，y＝sinx＋π3②，y＝sinx2＋π3，或y＝sinx②，y＝sin12x⑥，y＝sin12x＋2π3＝sinx2＋π3.(2)T＝2(7－3)＝8，ω＝2π8＝π4，A＝3，f(x)＝3sinπ4x＋φ，将(3,0)代入得3π4＋φ＝2kπ＋π，即φ＝2kπ＋π4.又φ∈[0,2π)，所以φ＝π4.[答案](1)④②或②⑥(填出其中一种即可)(2)π4返回(1)三角函数图象进行变换时，要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异．(2)A，ω，φ这三个值求解以φ最困难，其中如果图象上没有给出最高点和最低点坐标，而只给了函数的零点时，要区分对待，如点(3,0)在减区间内，则3ω＋φ＝2kπ＋π，如点(7,0)在增区间内，则7ω＋φ＝2kπ.本题也可由对称性得到最低点坐标(5，－3)，代入函数式求φ.返回[演练1]使函数y＝f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12，然后再将其图象沿x轴向左平移π6个单位，得到的曲线与y＝sin2x相同．(1)求f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的单调递增区间．返回解：(1)y＝sin2x的图象沿x轴向右平移π6个单位得y＝sin2x－π6即y＝sin2x－π3，再将每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍得y＝sinx－π3.∴f(x)＝sinx－π3.(2)由2kπ－π2≤x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，解得2kπ－π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z.∴函数y＝f(x)的单调递增区间是2kπ－π6，2kπ＋5π6(k∈Z)．返回[典例2](1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0)的图象关于直线x＝π3对称，且fπ12＝0，则ω的最小值为________．(2)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则f(x)的单调减区间为________．[解析](1)由题意得ωπ3＋φ＝kπ＋π2，又ωπ12＋φ＝k1π，所以ωπ4＝k′π＋π2，即ω＝4k′＋2，又ω0，所以ω的最小值为2.返回(2)∵f(x)＝2sinωx＋φ＋π4，由题意知2πω＝π，且φ＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，解得ω＝2，φ＝kπ＋π4(k∈Z)．又∵|φ|π2，∴φ＝π4.∴f(x)＝2sin2x＋π2＝2cos2x.令2kπ≤2x≤2kπ＋π，得kπ≤x≤kπ＋π2，故f(x)的单调减区间为kπ，kπ＋π2(k∈Z)．[答案](1)2(2)kπ，kπ＋π2(k∈Z)返回(1)三角函数的对称轴和对称中心都可以转化为关于ω，φ的二元方程．(2)由周期性可确定ω的值，由f(－x)＝f(x)可求出φ的值，确定解析式后，即可求出三角函数的性质．[演练2](1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1(ω0，|φ|π)对任意实数t，都有ft＋π3＝f－t＋π3.记g(x)＝Acos(ωx＋φ)－1，则gπ3＝________.(2)设ω0，函数y＝sinωx＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．返回解析：(1)由于任意实数t，函数f(x)有ft＋π3＝f－t＋π3成立，故f(x)的图象关于直线x＝π3对称，即sinπ3ω＋φ＝±1，从而cosπ3ω＋φ＝0，故gπ3＝－1.返回(2)将y＝sinωx＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后为y＝sinωx－4π3＋π3＋2＝sinωx＋π3－4ωπ3＋2，所以有4ωπ3＝2kπ，即ω＝3k2.又因为ω0，所以k≥1，故ω＝3k2≥32，所以ω的最小值是32.答案：(1)－1(2)32返回[典例3]已知函数f(x)＝sin2x－π6＋cos2x－π3＋sinxcosx，x∈R.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x的值；(2)求f(x)在[0，π]上的单调增区间．[解](1)f(x)＝1－cos2x－π32＋1＋cos2x－2π32＋12sin2x＝1＋12(sin2x－cos2x)＝22sin2x－π4＋1.当2x－π4＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋3π8，k∈Z时，返回f(x)取得最大值为22＋1.(2)由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，k∈Z.又因为0≤x≤π，所以f(x)在[0，π]上的增区间为0，3π8和7π8，π.返回三角函数性质的研究，关键是三角函数的化简，本题所给函数的解析式中方次均为二次，故需要用二倍角公式进行降幂，再观察角分别为2x－π3与2x，还需要用和差角公式进行统一，最终化归为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，即可将ωx＋φ看做整体，研究函数的性质．返回[演练3]已知函数f(x)＝sin2x＋π6－cos2x＋π3＋2cos2x.(1)求fπ12的值；(2)求f(x)的最大值及相应x的值．解：(1)fπ12＝sin2×π12＋π6－cos2×π12＋π3＋2cos2π12＝sinπ3－cosπ2＋1＋cosπ6＝32－0＋1＋32＝3＋1.返回(2)∵f(x)＝sin2x＋π6－cos2x＋π3＋2cos2x＝sin2xcosπ6＋cos2xsinπ6－cos2xcosπ3＋sin2xsinπ3＋cos2x＋1＝3sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π6＋1，当sin2x＋π6＝1时，f(x)max＝2＋1＝3，此时，2x＋π6＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋π6(k∈Z)．返回[专题技法归纳](1)三角函数的图象和性质的研究主要涉及的方向为正余弦函数相加后所得函数，首先需要对所给函数进行化简，在化简的过程中要注意“角”“名”“次”的统一，化简后的函数需要整体处理(换元)，再研究其性质，对y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的性质必须掌握．(2)在三角函数的性质研究时，要注意“形”和“式”之间的联系，即A，ω，x，φ对函数性质和图象的影响．(3)三角函数图象的变换中要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异．返回点击上图进入配套专题检测