2013高考数学复习课件 3.2 利用导数判断函数的单调性 理 新人教版

1．观察下图，导数f′(x0)表示函数在点(x0，f(x0))处的__________；在x＝x0处，f′(x0)___，切线为____________；函数f(x)在x0附近图象_____(填“上升”或“下降”)；在x＝x1处，f′(x1)___，切线为_____________；函数f(x)在x1附近图象____(填“上升”或“下降”)．切线的斜率＞0“左下右上”式上升＜0“左上右下”式下降2．一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数f(x)在这个区间内_________；如果________，那么函数f(x)在这个区间内单调递减．f′(x)＜0单调递增1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间是()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0,2)解析：f′(x)＝3x2－6x，由f′(x)＜0，得0＜x＜2.故选D.答案：D2．若函数f(x)在区间(a，b)内，f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内，有()A．f(x)＞0B．f(x)＜0C．f(x)＝0D．不能确定解析：因为f′(x)＞0，所以f(x)在(a，b)上单调递增．又f(x)≥0，所以f(x)＞f(a)≥0.答案：A3．函数f(x)＝lnx－ax(a＞0)的单调递增区间为()A.0，1aB.1a，＋∞C．(0，＋∞)D．(0，a)解析：因为f′(x)＝1x－a(x＞0)，由f′(x)＞0，得0＜x＜1a.答案A4．函数f(x)＝ln(x＋1)－x的单调递减区间为________．解析：f′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1(x＞－1)，由f′(x)＜0，得x＞0.答案：(0，＋∞)利用导数的符号判断函数的单调性，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用．它充分体现了数形结合的基本思想．因此必须重视对数学思想、方法进行归纳提炼，提高应用数学思想方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思维，简化解题过程的目的．依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性的定义来确定函数单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．考点一利用导数确定原函数的图象【案例1】若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()(即时巩固详解为教师用书独有)关键提示：观察各图中切线斜率的变化情况．解析：本题考查了导数的意义，属于基础知识、基本运算的考查．由导数是切线的斜率知，即函数f(x)图象上的切线的斜率依次增大，B选项中曲线上从左到右的点的切线斜率先大后小，C选项斜率是一常数，D选项斜率先增然后又减，只有A选项的曲线从左到右的点的切线斜率是依次增大的．答案：A【即时巩固1】已知f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如右图所示，则y＝f(x)的图象最可能是()解析：本题考查导函数与原函数之间的关系．由图可知，①当x0时，f′(x)0，则f(x)单调递增；②当0x2时，f′(x)0，则f(x)单调递减；③当x2时，f′(x)0，则f(x)单调递增，并且x＝0为极大值点，x＝2为极小值点，故选C.答案：C考点二利用导数求单调区间【案例2】设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k的取值范围．关键提示：通过研究f′(x)的正负，求单调区间．解：(1)f′(x)＝(1＋kx)ekx，f′(0)＝1，f(0)＝0，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x.(2)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0得x＝－1k(k≠0)．若k0，则当x∈－∞，－1k时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当x∈－1k，＋∞时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．若k0，则当x∈－∞，－1k时，f′(x)0，函数f(x)单调递增；当x∈－1k，＋∞时，f′(x)0，函数f(x)单调递减．(3)由(2)知，若k0，则当且仅当－1k≤－1，即0k≤1时，函数f(x)在(－1,1)内单调递增；若k0，则当且仅当－1k≥1，即－1≤k0时，函数f(x)在(－1,1)内单调递增．综上可知，函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增时，k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．【即时巩固2】已知函数f(x)＝2x－bx－12(b＜2)，求导函数f′(x)，并确定f(x)的单调区间．解：f′(x)＝2x－12－2x－b·2x－1x－14＝－2x＋2b－2x－13＝－2[x－b－1]x－13，令f′(x)＝0，得x＝b－1.因为b＜2，所以f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，b－1)b－1(b－1,1)(1，＋∞)f′(x)－0＋－所以函数f(x)在(－∞，b－1)上单调递减，在(b－1,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．考点三求参数的取值范围【案例3】已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．关键提示：先求出a、b的值，再研究f(x)的图象．解：(1)由函数f(x)的图象过原点，得b＝0，又f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，f(x)在原点处的切线斜率是－3，则－a(a＋2)＝－3，所以a＝－3或a＝1.(2)由f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－a＋23.又f(x)在(－1,1)上不单调，即－1a1，a≠－a＋23或－1－a＋231，a≠－a＋23.解得－1a1，a≠－12或－5a1，a≠－12.所以a的取值范围是－5，－12∪－12，1.【即时巩固3】已知函数f(x)＝x3＋ax2－2x－3.(1)若函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，求实数a的值；(2)若f(x)在13，12上是单调递增函数，求a的取值范围．解：(1)因为f(x)＝x3＋ax2－2x－3在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(x)＝3x2＋2ax－2，且f′(1)＝0，所以a＝－12.此时，f′(x)＝(x－1)(3x＋2)，当0x1时，f′(x)0，即f(x)在(0,1)上单调递减；当x1时，f′(x)0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以a＝－12即为所求．(2)令f′(x)＝3x2＋2ax－2＝0.因为Δ＝4a2＋240，所以方程有两个不等实根，分别记为x1，x2，所以x1x2＝－230，所以f′(x)＝0的两个实根x1，x2为一正一负，即在13，12内方程f′(x)＝0不可能有两个解．因为f′(x)＝3x2＋2ax－2的对称轴方程为x＝－a3，开口向上，且在区间13，12上f′(x)≥0，所以－a3≤13，f′13＝13＋2a3－2≥0，解得a≥52，所以当f(x)在13，12上是单调递增函数时，a的取值范围是52，＋∞.考点四创新应用【案例4】已知函数f(x)与g(x)均为闭区间[a，b]上的可导函数，且f′(x)g′(x)，f(a)＝g(a)．求证：当x∈[a，b]时，f(x)g(x)．关键提示：构造函数，利用函数的单调性证明．证明：设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)0，所以F(x)＝f(x)－g(x)在区间[a，b]上单调递增，所以任取x∈[a，b]，f(x)－g(x)f(a)－g(a)＝0，所以f(x)g(x)．【即时巩固4】求证：方程x－12sinx＝0只有一个根x＝0.证明：设f(x)＝x－12sinx，x∈(－∞，＋∞)，则f′(x)＝1－12cosx＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．而当x＝0时，f(x)＝0，所以方程x－12sinx＝0只有一个根x＝0.