2013高考数学高频考点突破：二次函数、指数函数、对数函数

1.求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．2．注意三个“二次”的相互转化解题3．二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负．”[例1]已知13≤a≤1，若f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)．令g(a)＝M(a)－N(a)．(1)求g(a)的函数表达式；(2)判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值．[思路点拨]首先对f(x)配方，确定对称轴，注意对a的取值要分类讨论，求M(a)，N(a)，才能进一步求解．[自主解答](1)f(x)＝ax2－2x＋1＝a(x－1a)2＋1－1a.∵13≤a≤1，∴1≤1a≤3，当1≤1a≤2，即12≤a≤1时，M(a)＝f(3)＝9a－5，N(a)＝f(1a)＝1－1a，g(a)＝9a－5－(1－1a)＝9a＋1a－6.当2≤1a≤3，即13≤a≤12时，M(a)＝f(1)＝a－1，N(a)＝f(1a)＝1－1a，g(a)＝(a－1)－(1－1a)＝a＋1a－2.∴g(a)＝a＋1a－2，13≤a≤12，9a＋1a－6，12≤a≤1.(2)当13≤a1＜a2≤12时，g(a2)－g(a1)＝(a2－a1)(1－1a1a2)＜0，∴g(a)在[13，12]上是减函数，最小值是g(12)＝12.当12≤a1＜a2≤1时，g(a2)－g(a1)＝(a2－a1)(9－1a1a2)＞0，∴g(a)在[12，1]上是增函数，最小值是g(12)＝12.1.利用指数函数与对数函数的性质比较大小(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解．[例2](1)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．－3B．－1C．1D．3(2)设函数f(x)＝log2x，x0，log12－x，x0.若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)[思路点拨](1)由f(x)为奇函数得f(0)＝0求b的值．(2)首先化为同底的对数函数，再对a分类讨论，求a的范围．[自主解答](1)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，因为当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.(2)由题意可得a0log2a－log2a或a0log12－alog2－a，解之可得a1或－1a0.[答案](1)A(2)C[例3]已知函数f(x)＝1－42ax＋a(a＞0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．[思路点拨]对于(1)，由f(0)＝0可建立关于a的方程．对于(2)，可把y用ax表示出来，利用ax＞0求出y的取值范围．对于(3)，转化为求函数最值问题．[自主解答](1)由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，故必有f(0)＝0，即1－42a0＋a＝0，解得a＝2.(2)由(1)知y＝f(x)＝1－22x＋1，得2x＝1＋y1－y.∵2x＞0，∴1＋y1－y＞0，解得－1＜y＜1，故函数f(x)的值域是(－1,1)．(3)不等式tf(x)≥2x－2，即t(1－22x＋1)≥2x－2，t·2x－12x＋1≥2x－2.∵x∈(0,1]，∴2x－1＞0，∴t≥2x＋12x－22x－1.令2x－1＝m，则0＜m≤1，2x＋12x－22x－1＝m2＋m－2m＝m－2m＋1∈(－∞，0]．因此要使不等式tf(x)≥2x－2在(0,1]上恒成立，应有t≥0.解决函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础：读题文字语言→建模数学语言→求解数学应用→反馈检验作答[例4](2010·湖南高考)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[思路点拨]解答首先由C(0)＝8求k的值，确定C(x)的关系，从而求得f(x)．[自主解答](1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－24003x＋52，令f′(x)＝0，即24003x＋52＝6，解得x＝5，x＝－253(舍去)．当0x5时，f′(x)0，当5x10时，f′(x)0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．解答本题考生犯的错误是把一年能源消耗费用按20年代入，从而导致错误．[例5]若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝()A.52B．3C.72D．4数形结合思想[解析]由2x＝5－2x，得2x－1＝52－x，又2log2(x－1)＝5－2x，所以log2(x－1)＝52－x.作出y＝2x－1，y＝52－x，y＝log2(x－1)的图象(如图)，y＝2x－1与y＝log2(x－1)的图象关于y＝x－1对称，它们与y＝52－x相交于A、B两点，直线y＝52－x与y＝x－1相交于点C，由图可知线段AB的中点为点C，即xC＝74＝x1＋x22，所以x1＋x2＝72.[答案]C[解法心得]本题是关于指数、对数的方程问题，利用传统解方程的方法很难奏效，通过数形结合将问题转化成点的坐标问题，体现了以形助数的巧妙．