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第24讲┃解直角三角形及其应用第24讲┃考点聚焦考点聚焦考点解直角三角形的应用常用知识仰角和俯角仰角俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，视线在水平线下方的叫俯角坡度坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝____坡度和坡角坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.i＝tanα，坡度越大，α角越大，坡面__________________h∶l越陡第24讲┃考点聚焦定义指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角方向角(或方位角)图例第24讲┃归类示例归类示例►类型之一利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题命题角度：1.计算某些建筑物的高度(或宽度)；2.将实际问题转化为直角三角形问题．第24讲┃归类示例[2012·凉山州]某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：小明：我站在此处看树顶仰角为45°.小华：我站在此处看树顶仰角为30°.小明：我们的身高都是1.6m.小华：我们相距20m.请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果保留三个有效数字)第24讲┃归类示例[解析]画出如图示意图，延长BC交DA于E.设AE的长为x米，在Rt△ACE中，求得CE＝AE，然后在Rt△ABE中求得BE，利用BE－CE＝BC，解得AE，则AD＝AE＋DE.第24讲┃归类示例解：如图所示，延长BC交DA于E.设AE的长为x米，在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，∠AEB＝90°，则∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x米；第24讲┃归类示例在Rt△ABE中，∠B＝30°，AE＝x，∴tanB＝AEBE，即tan30°＝xBE，∴BE＝3x.∵BE－CE＝BC，BC＝20米，∴3x－x＝20，解得x＝103＋10.∴AD＝AE＋DE＝10＋103＋1.6≈28.9(米)．答：这棵汉柏树的高度约为28.9米．第24讲┃归类示例[2013·连云港]图24－1①为平地上一幢建筑物与铁塔图，图②为其示意图．建筑物AB与铁塔CD都垂直于地面，BD＝30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度．图24－1第24讲┃归类示例[解析]设过点A的水平线与CD交于点E，分别在两个直角三角形中利用三角函数求解．解：设过点A的水平线与CD交于点E，由题意得∠AEC＝∠AED＝90°，∠CAE＝60°，∠DAE＝45°，AE＝BD＝30m，∴CD＝CE＋DE＝AE·tan60°＋AE·tan45°＝(303＋30)(m)．答：铁塔CD的高度为(303＋30)m.第24讲┃归类示例在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：①不同地点看同一点(如图24－2)；②同一地点看不同点(如图24－3)；图24－2图24－3③利用反射构造相似(如图24－4)图24－4►类型之二利用直角三角形解决航海问题第24讲┃归类示例命题角度：1.利用直角三角形解决方位角问题；2.将实际问题转化为直角三角形问题．第24讲┃归类示例[2012·常德]如图24－5，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/小时的速度向西北方向航行.我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船．问我渔政船的航行路程是多少海里？(结果保留根号)图24－5第24讲┃归类示例解：作CD⊥AB于点D.在Rt△BDC中，因为BC＝12×1.5＝18(海里)，∠CBD＝90°－45°＝45°，所以CD＝18·sin45°＝92(海里)．在Rt△ADC中，因为∠CAD＝90°－60°＝30°，所以AC＝2CD＝182(海里)．答：我渔政船的航行路程是182海里．►类型之三利用直角三角形解决坡度问题第24讲┃归类示例命题角度：1.利用直角三角形解决坡度问题；2.将实际问题转化为直角三角形问题．[2012·衡阳]如图24－6，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD.(i＝CE∶ED，单位：m)图24－6第24讲┃归类示例[解析]作BF⊥AD于点F，在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长，在直角△CED中，利用坡比的定义即可求得ED的长度，进而即可求得AD的长．第24讲┃归类示例解：如图所示，过点B作BF⊥AD，可得矩形BCEF.∴EF＝BC＝4；BF＝CE＝4.在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AB＝5，BF＝4，由勾股定理可得：AF＝52－42＝3.又∵Rt△CED中，i＝CEED＝12，∴ED＝2CE＝2×4＝8.∴AD＝AF＋FE＋ED＝3＋4＋8＝15(m)．第24讲┃回归教材回归教材直角坐标系中的锐角三角函数教材母题华东师大版九上P102T9如图24－7，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是(3，y)，且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是43，求：(1)y的值；(2)角α的正弦值．图24－7第24讲┃回归教材解：(1)如图24－8，过P点作PA⊥x轴，则tanα＝PAOA，所以y3＝43，所以y＝4.图24－8(2)根据勾股定理得OP＝OA2＋PA2＝32＋42＝5，所以sinα＝PAOP＝45.第24讲┃回归教材中考变式[2012·贵港]在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则sin∠AOB的值等于()A.55B.52C.32D.12A