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第6讲导数在研究函数性质中的应用返回目录核心知识聚焦命题考向探究命题立意追溯第6讲导数在研究函数性质中的应用——体验高考——返回目录核心知识聚焦1．[2013·福建卷改编]函数f(x)＝x－1＋aex(a∈R，e为自然对数的底数)在点（1，f（1））处的切线①平行于x轴，则a的值为________．[答案]e[解析]由f(x)＝x－1＋aex，得f′(x)＝1－aex.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－ae＝0，解得a＝e.⇒导数的几何意义关键词：导数、切线的斜率、切线的方程，如①②.——主干知识——第6讲导数在研究函数性质中的应用——体验高考——返回目录核心知识聚焦2．[2013·新课标全国Ⅰ卷改编]若曲线f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x在(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4②，则a＋b＝________．[答案]8[解析]由f(0)＝4得b＝4；由f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4，f′(0)＝4，得a＝4，所以a＋b＝8.⇒导数的几何意义关键词：导数、切线的斜率、切线的方程，如①②.——主干知识——第6讲导数在研究函数性质中的应用——体验高考——返回目录核心知识聚焦3．[2013·广东卷改编]函数f（x）＝x3－x2＋x的单调增区间③为________．[答案](－∞，＋∞)[解析]f′(x)＝3x2－2x＋1＝3x－132＋230，所以f(x)在R上单调递增．⇒导数与函数的单调性关键词：依据导数确定函数的单调性、单调函数的参数的取值，如③.——主干知识——第6讲导数在研究函数性质中的应用——体验高考——返回目录核心知识聚焦4．[2013·湖北卷改编]已知，函数f（x）＝x（lnx－ax）有两个极值点④则实数a的取值范围是________．[答案]（0，12）⇒函数的极值与最值关键词：极值、最值、参数影响下的极值与最值，如④⑤.——主干知识——第6讲导数在研究函数性质中的应用返回目录核心知识聚焦[解析]f′(x)＝lnx＋1－2ax，由f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，得f′(x)＝0有两个不等的实数解，即lnx＝2ax－1有两个实数解，从而直线y＝2ax－1与曲线y＝lnx有两个交点．过点(0，－1)作y＝lnx的切线，切点为(1，0)，切线方程为y＝x－1.再由直线y＝2ax－1与曲线y＝lnx有两个交点，知直线y＝2ax－1的斜率2a满足0＜2a＜1，解得0＜a＜12.第6讲导数在研究函数性质中的应用——体验高考——返回目录核心知识聚焦5．[2013·江苏卷改编]已知函数，则a的取值范围是________．[答案](e，＋∞)[解析]由f(x)＝ex－ax得f′(x)＝ex－a，令f′(x)＝0，则x＝lna，当x＜lna时f′(x)＜0，当x＞lna时f′(x)＞0.∵f(x)在(1，＋∞)上有最小值，∴lna＞1，∴a＞e，即a的取值范围为(e，＋∞)．⇒函数的极值与最值关键词：极值、最值、参数影响下的极值与最值，如④⑤.——主干知识——第6讲导数在研究函数性质中的应用——体验高考——返回目录核心知识聚焦6．[2013·陕西卷改编]函数f(x)＝ex，x∈R，若ab，则f（a）＋f（b）2与f（b）－f（a）b－a的大小关系⑥为________(用不等号连接)．[答案]f（a）＋f（b）2f（b）－f（a）b－a⇒导数与不等式关键词：含参不等式恒成立、构造函数证明不等式，如⑥.——主干知识——第6讲导数在研究函数性质中的应用返回目录核心知识聚焦[解析]f（a）＋f（b）2－f（b）－f（a）b－a＝（b－a＋2）·f（a）＋（b－a－2）·f（b）2·（b－a）＝（b－a＋2）·ea＋（b－a－2）·eb2·（b－a）＝（b－a＋2）＋（b－a－2）·eb－a2·（b－a）·ea.令g(x)＝x＋2＋(x－2)·ex，x0，则g′(x)＝1＋(1＋x－2)·ex＝1＋(x－1)·ex0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以在(0，＋∞)上g(x)0.∵当x0时，g(x)＝x＋2＋(x－2)·ex0且ab，∴（b－a＋2）＋（b－a－2）·eb－a2·（b－a）·ea0，∴当ab时，f（a）＋f（b）2f（b）－f（a）b－a.第6讲导数在研究函数性质中的应用——基础知识必备——返回目录返回目录第6讲导数在研究函数性质中的应用►考向一高考中导数常见的基本问题考向：利用导数求曲线的切线、利用导数对函数的图像进行识别．例1(1)已知函数f(x)＝2x＋lnx，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为()A．x－y－3＝0B．x－y＋3＝0C．x＋y－3＝0D．x＋y＋3＝0命题考向探究返回目录第6讲导数在研究函数性质中的应用(2)函数f(x)＝x3－3ex的图像大致是()图2－6－1命题考向探究返回目录第6讲导数在研究函数性质中的应用[解析](1)f′(x)＝－2x2＋1x，当x＝1时f′(1)＝－1，f(1)＝2，则切点坐标为(1，2)．切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)f′(x)＝3x2－x3＋3ex，显然当x0时，f′(x)0，函数单调递增，只有C符合．命题考向探究[答案](1)C(2)C返回目录第6讲导数在研究函数性质中的应用小结：高考中导数常见的基本问题有两类，一是利用导数的几何意义研究曲线的切线方程；二是结合导数对函数的单调性作出简单判断，从而选择正确的图像与函数对应．解题时尤其要注意给出的曲线上的点是过该点还是切于该点．求切线时还要注意是否存在切线斜率不存在的情况．命题考向探究返回目录命题考向探究变式题(1)函数y＝x2－2sinx的图像大致是()图2－6－2(2)函数g(x)＝lnx＋ax2＋bx的图像在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，则a与b的关系为________．[答案](1)A(2)b＝－2a－1第6讲导数在研究函数性质中的应用返回目录命题考向探究[解析](1)y′＝12－2cosx，则函数的极值点有无数多个，排除B，D.因为y＝x2－2sinx为奇函数，排除C.(2)依题意，g(x)＝lnx＋ax2＋bx，则g′(x)＝1x＋2ax＋b，由函数g(x)的图像在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得g′(1)＝1＋2a＋b＝0，故b＝－2a－1.第6讲导数在研究函数性质中的应用返回目录第6讲导数在研究函数性质中的应用►考向二导数方法研究函数的单调性考向：由函数解析式确定函数的单调性、利用单调性确定解析式中参数的取值范围．例2已知函数f(x)＝ax－ax－2lnx(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝－ax.若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围．命题考向探究返回目录第6讲导数在研究函数性质中的应用规范解答1.导数方法研究函数的单调性解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，(1分)f′(x)＝a＋ax2－2x＝ax2－2x＋ax2.(2分)当a≤0时，h(x)＝ax2－2x＋a0在(0，＋∞)上恒成立，则f′(x)0在(0，＋∞)上恒成立，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减．(3分)命题考向探究返回目录第6讲导数在研究函数性质中的应用当a0时，对于h(x)＝ax2－2x＋a，Δ＝4－4a2.①若0a1，由f′(x)0，即h(x)0，得x1－1－a2a或x1＋1－a2a；由f′(x)0，即h(x)0，得1－1－a2ax1＋1－a2a.(4分)所以函数f(x)的单调递增区间为（0，1－1－a2a）和（1＋1－a2a，＋∞），单调递减区间为（1－1－a2a，1＋1－a2a）.(5分)命题考向探究返回目录第6讲导数在研究函数性质中的应用命题考向探究②若a≥1，h(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，则f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(6分)(2)因为存在一个x0∈[1，e]使得f(x0)g(x0)，则ax02lnx0，等价于a2lnx0x0.(7分)令F(x)＝2lnxx，则该题等价于“当x∈[1，e]时，aF(x)min”．(8分)对F(x)求导，得F′(x)＝2（1－lnx）x2.(9分)因为当x∈[1，e]时，F′(x)≥0，所以F(x)在[1，e]上单调递增．(10分)所以F(x)min＝F(1)＝0，因此a0.(12分)返回目录第6讲导数在研究函数性质中的应用命题考向探究【答题步骤】第一步：依据定义域优先原则，确定函数的定义域；第二步：求导是解决单调性的必经之路，f′(x)＝ax2－2x＋ax2这一结果要准确无误；第三步：对a的取值进行分类讨论，确定相应的单调区间；第四步：等价转化命题，研究函数F(x)＝2lnxx的单调性，通过该函数的最值确定a的取值范围．返回目录第6讲导数在研究函数性质中的应用命题考向探究方法指导7.使用导数研究函数性质的方法函数性质中起关键作用的是函数的单调性，确定了函数的单调性也就确定了函数的极值点，也确定了函数在闭区间上的最值点，因此使用导数研究函数，要抓住函数单调性这个关键点．大多数高考试题中确定函数的单调性需要分类讨论，讨论的标准是导数的零点在定义域内的分布情况，根据导数的零点把定义域划分为若干区间，在各个区间上确定导数值的符号．返回目录第6讲导数在研究函数性质中的应用小结：利用导数研究函数的一般步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③在定义域内解不等式f′(x)0或f′(x)0确定单调区间．此外，若函数解析式中含参数，则需要根据f′(x)＝0的根的情形进行分类讨论，必要时要构造新函数再次判断单调性辅助解决．命题考向探究返回目录命题考向探究变式题已知函数f(x)＝x3＋(m－4)x2－3mx＋(n－6)(x∈R)的图像关于原点对称(m，n∈R)．(1)求m，n的值；(2)若函数f(x)＝f(x)－(ax2＋b)在区间[1，2]上为减函数，求实数a的取值范围．第6讲导数在研究函数性质中的应用返回目录第6讲导数在研究函数性质中的应用命题考向探究解：(1)∵f(x)图像关于原点对称，∴f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．解得m＝4，n＝6，∴f(x)＝x3－12x.(2)∵f(x)＝f(x)－(ax2＋b)＝x3－ax2－12x－b，∴F′(x)＝3x2－2ax－12，又f(x)在[1，2]上是减函数，得F′（1）＝3－2a－12≤0，F′（2）＝12－4a－12≤0，解得a≥0.故实数a的取值范围为[0，＋∞)．返回目录第6讲导数在研究函数性质中的应用►考向三导数方法研究函数的极(最)值考向：利用导数求极值或最值．例3设函数g(x)＝xlnx－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在[1，e]上的最小值(其中e为自然对数的底数)．命题考向探究返回目录第6讲导数在研究函数性质中的应用命题考向探究解：g(x)＝xlnx－a(x－1)，则g′(x)＝lnx＋1－a.令g′(x)0，得0xea－1；令g′(x)0，得xea－1，所以g(x)在(0，ea－1)上单调递减，在(ea－1，＋∞)上单调递增．①当ea－1≤1，即a≤1时，g(x)在[1，e]上单调递增，所以g(x)在[1，e]上的最小值为g(1)＝0.②当1ea－1e，即1a2时，g(x)在[1，ea－1)上单调递减，在(ea－1，e]上单调递增，所以g(x)在[1，e]上的最小值为g(ea－1)＝a－ea－1.③当e≤ea－1，即a≥2时，g(x)在[1，e]上单调递减，所以g(x)在[1，e]上的最小值为g(e)＝e＋a－ae.综上，当a≤1时，g(x)的最小值为0；当1a2时，g(x)的最小值为a－ea－1；当a≥2时，g(x)的最小值为a＋e－ae.返回目录第6讲导数在研究函数性质中的应用命题考向探究小结：利用导数求极值