【金版学案】2016高考数学理科二轮复习课件：专题2第三讲 平面向量

随堂讲义专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第三讲平面向量通过近三年高考真题统计，平面向量都有单独小题，因此认真掌握好平面向量很重要，预测2016年平面向量仍为考查的重点，向量的概念、坐标运算为主要内容．例1(1)若向量BA→＝(2，3)，CA→＝(4，7)，则BC→＝()A．(－2，－4)B．(2，4)C．(6，10)D．(－6，－10)解析：BC→＝BA→－CA→＝(－2，－4)．答案：A(2)△ABC中，AB边上的高为CD，若CB→＝a，CA→＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD→＝()A.13a－13bB.23a－23bC.35a－35bD.45a－45b解析：由a·b＝0可得∠ACB＝90°，故AB＝5，用等面积法求得CD＝255，所以AD＝455，故AD→＝45AB→＝45(CB→－CA→)＝45a－45b.故选D.答案：D1．已知向量a＝(2，3)，b＝(x，－6)共线，则x＝－4．例2(1)a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________．(2)设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________．思路点拨：(1)利用公式|a|2＝a2及向量的数量积即可解决；(2)由向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0即可解决．解析：(1)|5a－b|＝|5a－b|2＝（5a－b）2＝25a2－10a·b＋b2＝25|a|2－10|a||b|cos120°＋|b|2＝25×12－10×1×3×－12＋32＝25＋15＋9＝7.(2)∵a＝(1，2)，b＝(2，3)，∴λa＋b＝λ(1，2)＋(2，3)＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(2＋λ，3＋2λ)．又∵c＝(－4，－7)且λa＋b与c共线，∴(2＋λ)(－7)－(3＋2λ)(－4)＝0，即－14－7λ＋12＋8λ＝0.∴λ＝2.答案：(1)7(2)2应充分利用有关的运算法则将此类题目转化为求数量积及模的问题，特别注意公式a2＝|a|2的灵活应用．另外，还要注意区分两个非零向量垂直与共线的坐标表示条件．2．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝－16．例3已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．思路点拨：此题考查了平面向量与解三角形的综合问题以及向量平行与垂直所满足的条件．解析：(1)由m∥n⇒asinA＝bsinB．依题意，得a·a2R＝b·b2R，其中R是△ABC外接圆的半径．∴a＝b，即△ABC为等腰三角形．(2)∵m⊥p，∴a＋b＝ab.又c＝2，C＝π3，由余弦定理，可知4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4或ab＝－1(舍去)．∴S△ABC＝12absinC＝12×4sinπ3＝3.平面向量是解决数学问题的一个很好的工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义，如判断三角形的形状等．在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用．3．(2015·泰州期末)已知向量a＝(cosλθ，cos(10－λ)θ)．b＝(sin(10－λ)θ，sinλθ)，λ，θ∈R.(1)求|a|2＋|b|2的值；(2)若a⊥b，求θ；(3)若θ＝π20，求证：a∥b.解析：(1)∵|a|＝cos2λθ＋cos2（10－λ）θ，|b|＝sin2（10－λ）θ＋sin2λθ，∴|a|2＋|b|2＝2.(2)∵a⊥b，∴cosλθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sinλθ＝0，∴sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，∴sin10θ＝0.∴10θ＝kπ，k∈Z，∴θ＝kπ10，k∈Z.(3)∵θ＝π20，cosλθ·sinλθ－cos(10－λ)θ·sin(10－λ)θ＝cosλπ20·sinλπ20－cosπ2－λπ20·sinπ2－λπ20＝cosλπ20·sinλπ20－sinλπ20·cosλπ20＝0，∴a∥b.1．正确理解向量的基本概念．如：相等向量、相反向量、单位向量、零向量等．2．正确理解平面向量的运算律．3．在向量与三角的综合题中，向量实际上是一个工具，常用到向量的数乘、数量积以及向量的垂直与平行．准确掌握这些概念及相关条件就能做好此类题．