搜索
学案1平面向量的基本概念及线性运算向量的有关概念(1)向量:既有,又有的量叫做向量,向量的大小叫做向量的(或模).(2)零向量:的向量叫做零向量,其方向是的.(3)单位向量:给定一个非零向量a,与a且长度等于的向量,叫做向量a的单位向量.大小方向长度长度为0任意同方向1考点分析返回目录(4)平行向量:方向或的向量.平行向量又叫,任一组平行向量都可以移到同一条直线上.规定:0与任一向量.(5)相等向量:长度且方向的向量.(6)相反向量:长度且方向的向量.2.向量的加法和减法(1)加法①法则:服从三角形法则、平行四边形法则.②运算性质:相同相反非零共线向量平行相等相同相等相反返回目录a+b=(交换律);(a+b)+c=(结合律);a+0==.(2)减法①减法与加法互为逆运算;②法则:服从三角形法则.3.实数与向量的积(1)长度与方向规定如下:①|λa|=;b+aa+(b+c)0+aa|λ|·|a|②当时,λa与a的方向相同;当时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=.(2)运算律:设λ,μ∈R,则①λ(μa)=;②(λ+μ)a=;③λ(a+b)=.4.平行向量基本定理向量a与b(b≠0)平行的充要条件是.返回目录有且只有一个实λ0λ00(λμ)aλa+μaλa+λb数λ,使得a=λb返回目录判断下列各命题是否正确.（1）若|a|=|b|，则a=b;（2）若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；（3）若a=b,b=c，则a=c;（4）两向量a,b相等的充要条件是：|a|=|b|且a∥b；考点一向量的有关概念题型分析返回目录【分析】从向量的模、相等向量的概念入手，逐个判断其真假.（5）|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件；（6）AB=CD的充要条件是A与C重合，B与D重合.【解析】（1）不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.（2）正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且AB∥DC.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形，反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥DC，且AB与DC方向相同，因此，AB=DC.（3）正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同；又∵b=c,∴b,c的长度相等且方向相同.∴a,c的长度相等且方向相同，故a=c.（4）不正确.当a∥b，但方向相反，即使|a|=|b|，也不能得到a=b.（5）正确.这是因为|a|=|b|/a=b，但a=b|a|=|b|，所以|a|=|b|是a=b的必要不充分条件.返回目录返回目录【评析】向量中的概念比较多，易混淆，基础性题目的判定应从概念的本质上加以理解和应用.（6）不正确.这是因为AB=CD时，应有：|AB|=|CD|,即由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合，B与D重合.＊对应演练＊给出下列命题:①向量AB的长度与向量BA的长度相等;②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;③两个有共同起点并且相等的向量,其终点必相同;④两个有共同终点的向量,一定是共线向量;⑤向量AB与向量CD是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上;⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的个数为()A.2B.3C.4D.5返回目录C(①中,∵向量AB与BA为相反向量,∴它们的长度相等,∴此命题正确.②中若a或b为零向量,则满足a与b平行,但a与b的方向不一定相同或相反,∴此命题错误.③由相等向量的定义知,若两向量为相等向量,且起点相同,则其终点也必定相同,∴该命题正确.④由共线向量知,若两个向量仅有相同的终点,则不一定共线,∴该命题错误.⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB与CD是共线向量,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上,∴该命题错误.⑥∵零向量不能看作是有向线段,∴该命题错误.故应选C.)返回目录返回目录如图4-1-1,若ABCD是一个等腰梯形,AB∥DC,M,N分别是DC,AB的中点,已知AB=a,AD=b,DC=c,试用a,b,c表示BC,MN,DN+CN.【分析】结合图形性质,准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.考点二向量的线性表示【解析】BC=BA+AD+DC=-a+b+c.∵MN=MD+DA+AN,MN=MC+CB+BN,∴2MN=MD+MC+DA+CB+AN+BN=-AD+CB=-b-(-a+b+c)=a-2b-c,∴MN=a-b-c.DN+CN=DM+MN+CM+MN=2MN=a-2b-c.返回目录2121返回目录【评析】(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系,能熟练地找出图形中相等向量,能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.返回目录＊对应演练＊如图4-1-2，以向量OA=a,OB=bOADB,BM=BC,CN=CD,用a,b表示OM,ON,MN.3131∵BA=OA-OB=a-b,∴BM=BA=a-b.∴OM=OB+BM=b+a-b=a+b.又OD=a+b,∴ON=OC+CD=OD+OD=OD=a+b.∴MN=ON-OM=a+b-a-b=a-b.即有OM=a+b,ON=a+b,MN=a-b.返回目录21316161616161616561323232323261652161616532322161返回目录设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.【分析】解决点共线或向量共线问题,就要根据两向量共线的条件a=λb(b≠0).考点三向量的共线问题返回目录【解析】(1)证明:∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.∴AB,BD共线,又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.返回目录【评析】(1)由向量数乘运算的几何意义知非零向量共线是指存在实数λ使两向量能互相表示.(2)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.(3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.返回目录＊对应演练＊设两个非零向量e1和e2不共线.(1)如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求证:A,C,D三点共线;(2)如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,CD=2e1-ke2,且A,C,D三点共线,求k的值.返回目录(1)AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,AC=AB+BC=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-CD,∴AC与CD共线.又∵AC与CD有公共点C,∴A,C,D三点共线.(2)AC=AB+BC=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,∵A,C,D三点共线,∴AC与CD共线,从而存在实数λ使得AC=λCD,即3e1-2e2=λ(2e1-ke2),由平面向量基本定理,得3=2λ-2=-λk,解得λ=,k=.{21233421返回目录如图4-1-3所示,在△ABO中,OC=OA,OD=OB,AD与BC相交于点M,设OA=a,OB=b.试用a和b表示向量OM.【分析】从题设及图中可以看出,直接寻找OM与a,b之间的关系是很难行得通的.因此可先设OM=ma+nb,利用共线向量的知识及待定系数法求出m,n即可.考点四向量知识的综合应用2141返回目录【解析】设OM=ma+nb,则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb.AD=OD-OA=OB-OA=-a+b.又∵A,M,D三点共线,∴AM与AD共线.∴存在实数t,使得AM=tAD,即(m-1)a+nb=t(-a+)b.∴(m-1)a+nb=-ta+tb.m-1=-tn=,消去t得m-1=-2n.∴{2t21212121即m+2n=1.①又∵CM=OM-OC=ma+nb-a=(m-)a+nb,CB=OB-OC=b-a=-a+b.又∵C,M,B三点共线,∴CM与CB共线.∴存在实数t1,使得CM=t1CB,∴(m-)a+nb=t1(-a+b),m-=-t1n=t1,消去t1得4m+n=1.②由①②得m=,n=,∴OM=a+b.返回目录414141414141414171717373∴{【评析】在求一个向量用另外两个向量线性表示时,一般有以下几种方法:(1)根据图形,由加减法的定义,可直接得出结论;(2)如果不易找出它们间的关系,可先设该向量可用另外两个向量来线性表示,再利用共线向量定理,用待定系数法求出它们的系数,即可得出结论.返回目录).|AC|AC+|AB|AB(=λ由①②，可得AP③＊对应演练＊O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足λ∈［0,+∞),则P点的轨迹一定通过△ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心返回目录B(如图，作向量AP.由向量加法知OP=OA+AP①由已知可得②,)|AC|AC+|AB|AB(+OA=OPλB,)|AC|AC+|AB|AB(+OA=OPλ③式中都是单位向量，以这两个向量为一组邻边作AB1P1C1，AB1P1C1是菱形，对角线AP1平分∠B1AC1，且AB1=,AC1=.④由③④可知AP=λAP1,返回目录|AC|AC,|AB|AB再由λ∈［0,+∞)可知，P点的轨迹是射线AP,所以，P点的轨迹一定通过△ABC的内心.故应选B.)|AB|AB|AC|AC返回目录1.将向量用其他向量(特别是基向量)线性表示,是十分重要的技能,也是向量坐标形式的基础.2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点,最后的终点为终点的向量;若这两点重合,则和为零向量.3.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线,但要注意到向量的平行与直线的平行的区别.4.0与实数0有区别,0的模为数0,它不是没有方向,而是方向不定.0可以看成与任意向量平行.高考专家助教5.由a∥b,b∥c不能得到a∥c.取不共线的向量a与c,显然有a∥0,c∥0.6.注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的根本区别与联系.返回目录