高一必修五解三角形

一、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即Aasin=Bbsin=Ccsin=2R（R为△ABC外接圆半径）1．直角三角形中：sinA=ca，sinB=cb，sinC=1即c=Aasin，c=Bbsin，c=Ccsin．∴Aasin=Bbsin=Ccsin2.证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴RCDDaAa2sinsin同理Bbsin=2R，Ccsin＝2R二、正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:)(ba),(babsinA)(bsinAasin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Abababababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1ABACB2CHHH⑵若A为直角或钝角时:)(ba锐角一解无解baabcOBCAD三、正弦定理的变形公式1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;3）a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R5）asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA一、余弦定理定义：三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．公式：a2=b2+c2-2bccosA．c2=a2+b2-2abcosC．b2=a2+c2-2accosB．若用三边表示角，余弦定理可以写为证明：方法一：如图在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b奎屯王新敞新疆∵BCABAC∴)()(BCABBCABACAC222BCBCABAB22)180cos(||||2BCBBCABABcabABC22cos2aBacc即Bacacbcos2222同理可证Abccbacos2222，Cabbaccos2222方法二：以顶点A为原点，射线AC为x轴正半轴建立直角坐标系。由两点的距离公式有：两边平方，得同理可证另两式二、余弦定理的应用。(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式)判定定理(角边判别法):一当absinA时①当ba且cosA0(即A为锐角)时,则有两解；②当ba且cosA=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；③当b=a且cosA0(即A为锐角)时,则有一解；④当b=a且cosA=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；⑤当ba时,则有一解二当a=bsinA时①当cosA0(即A为锐角)时,则有一解；②当cosA=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；三当absinA时,则有零解(即无解)；三、练习例1已知在BbaCAcABC和求中，,,30,45,1000例2在CAacBbABC,,1,60,30和求中，例3CBbaAcABC,,2,45,60和求中，例4已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC例5在△ABC中，kCcBbAasinsinsin,则k为()A.2RB.RC.4RD.R21(R为△ABC外接圆半径)例6△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为()A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形例7在△ABC中，求证：2222112cos2cosbabBaA例8.在ABC中，若30B，23,2ABAC，求ABC的周长。例9.在ABC中，,,abc分别是,,ABC的对边长,且cos3cosCacBb。（1）求sinB；（2）若42b，且ac，求ABC的面积。例10.在ABC中，,,abc分别是,,ABC的对边长，若cos,sinbaCcaB，试判断ABC的形状。例11.已知有,AB两个小岛相距21海里，B岛在A岛的正南方。现在甲船从A岛出发，以9海里/时的速度向B岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开B岛向南偏东60方向行驶。问行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的距离。例12.在ABC中，已知150,3Aa，则其外接圆的半径R（）A．3B．3Ｃ．2D.不确定例13.在ABC中，sinsinAB是AB的（）A．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件D．既不充分也不必要条件例14.在ABC中，,,abc分别是,,ABC的对边长，下列等式恒成立的是（）。A．coscosaCcAB．sinsinbCcAC．sinsinabCbcBD．sinsinaCcA例15.在ABC中，,,abc分别是,,ABC的对边长，且::1:3:2abc，则sin:sin:sinABC（）。A．3:2:1B．2:3:1C．1:2:3D．1:3:2例16.在ABC中，已知三边6,7,8abc，试判断ABC的形状。例17.在ABC中，,,abc分别是,,ABC的对边长。已知,,abc成等比数列，且22acacbc，求A的大小及sinbBc的值。例18.在ABC中，,,abc分别是,,ABC的对边长。求证：222sinsinABabcC。例19.某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得公路上与C相距31千米的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米后到达D处，此时测得C、D间的距离为21千米，求此人所在D处距A还有多少千米？例20.在ABC中，,,abc分别是,,ABC的对边长，已知222acbbc，且:31:2ac，求内角C的大小。1.解：0030,45,10CAc∴00105)(180CAB由CcAasinsin得21030sin45sin10sinsin00CAca由CcBbsinsin得25654262075sin2030sin105sin10sinsin000CBcb2.解：∵21360sin1sinsin,sinsin0bBcCCcBb00090,30,,60,BCCBCBcb为锐角，∴222cba3.解：23245sin6sinsin,sinsin0aAcCCcAa0012060,sin或CcaAc1360sin75sin6sinsin,75600000CBcbBC时，当，1360sin15sin6sinsin,151200000CBcbBC时，当或0060,75,13CBb00120,15,13CBb4.分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为DBCDCBDCBCABDADABDABsinsin,sinsin，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在△ABD内，利用正弦定理得：ABDADBADABABDADADBABsinsinsinsin即在△BCD内，利用正弦定理得：.sinsin,sinsinDBCBDCDCBCDBCDCBDCBC即∵BD是B的平分线.∴∠ABD＝∠DBC∴sinABD＝sinDBC.∵∠ADB＋∠BDC＝180°∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC∴CDBCDBCBDCABDADBADABsinsinsinsin∴DCADBCAB评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.5.A6.A7.BbAasinsinbBaAsinsin22)sin()sin(bBaA2222sinsinbBaA222cos12cos1bBaA2222112cos2cosbabBaA8.思路解析：本题是是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC，容易想到由正弦定理去考虑，先找出其中某个内角的大小或其正弦的大小，通过分析发现可以先将角C给找出，进而把问题解决。解：由正弦定理得sin3sin2ABBCAC。,ABACCB，60C或120。（1）当60C时，90A，4BC，ABC的周长为623；（2）当120C时，30A，,2ABBCAC，ABC的周长为423。综上，ABC的周长是623或423。黑色陷阱：此类问题容易漏解。在以上的解题目过程中，由3sin2C容易简单地得到60C，从而造成问题解答不全面，产生这样的错误的原因是对于相关三角函数的知识模糊。9.思路解析：本题所给已知条件中，即有边又有角，第一个问题是求其中一内角的正弦，由此容易想到把已知条件中的边转化为相应的角，利用正弦定理、余弦定理可知，把已知条件中的边角之间的关系全部转化为角之间的关系，从而将问题解决。第二个问题容易想到利用三角形相应的面积公式，从而围绕着公式去考虑需要些什么条件，决定去寻找相应的条件，把问题解决。解：（1）由正弦定理得sinsinaAbB，sinsincCbB，又cos3cosCacBb，cos3sinsincossinCACBB，即sincos3sincossincosBCABCB，sin()3sincosBCAB。又sinsinsin0BCAA，sin3sincosAAB，1cos3B。又0B，222sin1cos3BB；（2）在ABC中，由余弦定理得222323acac，又ac，22432,243aa，2218222ABCbSba。绿色通道：对于此类三角形中的问题解决，通常已知条件中既涉及到边又涉及到角，通常考虑问题有两个方向：一是将所有的边之间的关系转化为角之间的关系；二是将所有的角之间的转化为边之间的关系从而将问题解决。当然这样的问题究竟是将边全部转化为角好还是将角全部转化为边好，这要视具体问题而定，只有对于此类问题作了一定的练习之后，逐渐就会对于此类问题有所办法。10.思路解析：本题是根据已知条件判断三角形的形状问题，而已知条件中既涉及到边又涉及角，所以容易想到借助于正、余弦定理将边、角互化，从而将问题解决。解：由cosbaC得，22222222abcabcbaabb，即22222babc，222bca，90A，sinbcaBaba，故ABC为等腰直角三角形。绿色通道：类似本题这样的的问题，判断三角形的形状，常常有两种方式去考虑，一是从边的角度去加以判断，从而可以考虑将已知条件转化为边间的关系；二是从角的角度去判断，从而可以考虑将已知条件转化为角间的关系。11.思路解析：本题是实际生活中的数学问题，如何恰当地应用所学数学知识去解决相关的实际问题，这也是学数学的真正目的。对于绝大多数同学来说，往往不能很好地去解决这样的实际问题，这就说明同学的应用意识不强，只会学那些抽象的知识，并不能真正将其应用到生活中去解决问题，这样的问题同学常常觉得难，这易入手。另外，这个问题中涉及到方位角，对于方