认清“增根”和“无解”

学习方法报全新课标理念，优质课程资源第1页共1页认清“增根”和“无解”分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时，去掉了原分式方程中分母不为0的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，这样，整式方程的解可能使分式方程的分母为0，分式方程无意义．因此，这个解虽然是变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解，即为增根．可见，增根不是原分式方程的解，但却是分式方程去分母后所得整式方程的解．分式方程无解分两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程有解，但该解却是分式方程的增根．可见，分式方程有增根与无解是完全不相同的，它们既有联系，又有区别．增根是无解的一种特殊情形，分式方程无解应从两个方面考虑．一、利用分式方程有增根确定字母的值解题妙招：解决此类问题的一般步骤是：①把分式方程化为整式方程；②求出使最简公分母为0的未知数的值；③把未知数的值分别代入整式方程，求出字母系数的值．例1若分式方程11(1)(2)xmxxx有增根，则m的值为（）A.0或3B.1C.1或2D.3解析：方程两边乘（x-1）（x+2），得x（x+2）-（x-1）（x+2）=m.解得x=m-2.令(1)(2)0xx，解得1x或2x．因为分式方程有增根，将1x，2x分别代入x=m-2，得3m或0m．所以3m或0m时，原分式方程有增根．故选A．二、利用分式方程无解求字母的值解题妙招：解决此类问题，一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑，以防出现漏解．例2若关于x的分式方程311xaxx无解，则a的值为．解析：方程两边乘x（x-1），得x（x-a）-3（x-1）=x（x-1）.化简，得(2)3ax．当整式方程无解时，则20a，解得2a．当分式方程有增根时，则最简公分母(1)0xx，解得0x或1x．①当0x时，a无解；②当1x时，1a．所以当1a或a=2时，原分式方程无解．故填1或2．