高等数学-第九章-9-2偏导数

南京信息工程大学孟祥瑞561§92偏导数内容提要：偏导数的定义、计算、几何意义；高阶偏导数重点分析：偏导数的计算难点分析：多元函数偏导数与一元函数导数之间的联系与区别因为多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。在本节中，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率。一、偏导数的定义及其计算法1、定义一元函数()yfx，00()()()limlimxxyfxxfxfxxx二元函数000(,),(,),(,)zfxyxyDPxyD考虑0yy，x从00xxx，000100(,)(,)PxyPxxy偏增量0000(,)(,)xzfxxyfxy（p12）定义1设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx。（也可记作,xxzf）即0000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx。注：偏导记号为一整体记号，不能拆分。南京信息工程大学孟祥瑞562同理，yyxfyyxfy),(),(lim00000为函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy。如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，称为函数),(yxfz对自变量x的偏导函（简称偏导数），记作xz，xf，xz或),(yxfx。同理，可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy。显然有：0000(,)(,)(,)xxxyfxyfxy，0000(,)(,)(,)yyxyfxyfxy即(,)fxy在点00(,)xy处对()xy的偏导数等于偏导函数(,)((,))xyfxyfxy在点00(,)xy处的函数值。偏导数的概念可以推广到二元以上函数，如),,(zyxfu在),,(zyx处,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz例1（与p14例1同类型）求32zxyxxy在点(1,1)处的偏导数。解：xz223yxy；yz2xxy南京信息工程大学孟祥瑞563111315xyzx，11123xyzy。2、偏导数的几何意义,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM如图几何意义:偏导数0000(,)(,)xxxdfxyfxydx就是曲面被平面0yy所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率；偏导数0000(,)(,)yyydfxyfxydy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率。（举一个几何意义的题）３、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在是否可得连续？例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff。但函数在该点处并不连续。故偏导数存在不能得到连续。南京信息工程大学孟祥瑞564例2（p14例3）设yxz)1,0(xx，求证zyzxxzyx2ln1。证：xz,1yyxyz,lnxxyyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxx.2z原结论成立。例3设22arcsinyxxz，求xz，yz。解：xzxyxxyxx2222211322222)(||yxyyyx|)|(2yy.||22yxyyzyyxxyxx222221132222)()(||yxxyyyxyyxx1sgn22)0(y所以，00yxyz不存在。例4设(1)yzxy，求,zzxy。证：121(1)(1)yyzyxyyyxyx；令ln(1)yxyze，则ln(1)ln(1)(1)ln(1)11yxyyzxxyexyyxyxyyxyxy。南京信息工程大学孟祥瑞565例5设sinzxyxy，求,zzxy。证：2sincoszyxyxyxyx；2sincoszxxyxyxyy例6（书例5）已知理想气体的状态方程pVRT（R为常数），求证：1pTTVVp.证：VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRVpVRT.1求偏导数的方法：1、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；如，设(,)zfxyxy，求(0,0),(0,0)xyff。解：xxfxx0|0|lim)0,0(00).0,0(yf2、用求导法则，先将偏导函数求出，再将点代入；*将一个自变量看作固定的，仍用一元函数微分法求，如求fx，将y暂看作常量而对x求导数；求fy，将x暂看作常量而对y求导数。南京信息工程大学孟祥瑞566二、高阶偏导数函数),(yxfz的二阶偏导数为),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy纯偏导),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx混合偏导定义2：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。例7(p16例6)设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz。解：xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy33xz,62y22yz;1823xyxyxz2,19622yyxxyz2.19622yyx例8设byeuaxcos，求二阶偏导数。解：,cosbyaexuax;sinbybeyuax,cos222byeaxuax,cos222byebyuax,sin2byabeyxuax.sin2byabexyuax观察上两例中二阶混合偏导函数间的关系：有xyz2＝yxz2，这是偶然的吗？问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？事实上，我们有下列定理：南京信息工程大学孟祥瑞567定理如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关。（可推广到高阶导数）例9（p17例7）验证函数22ln),(yxyxu满足拉普拉斯方程：22220uuxy。解),ln(21ln2222yxyx,22yxxxu,22yxyyu,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu222222222222220()()uuyxxyxyxyxy例10（p17例8）2221uxyz，求证2222220uuuxyz。——拉普拉斯方程证明(略，见书本p17)例11设ln()zxxy，求yxz2、32zxy、32zxy。解：1ln()ln()1zxyxyxyxxy，221zyxxyx211zxxyxyy，320zxy，3221zxyy。南京信息工程大学孟祥瑞568三、小结1、偏导数的定义（偏增量比的极限）2、偏导数的计算、偏导数的几何意义3、高阶偏导数：纯偏导、混合偏导（相等的条件）作业：p18，ex1（1）（4）（5）（7），ex4，ex6（2）（3），ex7思考题：若函数),(yxf在点),(000yxP连续，能否断定),(yxf在点),(000yxP的偏导数必定存在？思考题解答：不能。例如,,),(22yxyxf在)0,0(处连续,但)0,0()0,0(yxff不存在。