数形结合法在函数零点问题中的应用

1数形结合法在函数零点问题中的应用高三数学组2017年3月15日【教学目标】函数的零点一直是近年来全国各地高考卷上的热点，因其综合性强，让很多同学感到困难。本文通过对高考试卷中有关零点问题的研究，来说明如何将数形结合思想运用于函数零点的问题中，使零点问题变得直观形象，从而有效地将问题解决。【教学思想、方法】数形结合分类讨论转化与化归函数与方程【考向洞察】1、针对题型(1)确定零点的大致范围，多出现在选择题中；(2)确定零点的个数问题，多出现在选择题中；(3)利用已知零点的个数求参数的范围，多出现在选择题、填空题、解答题中均有可能出现。2、解决方案(1)直接画出函数图像，观察图像得出结论。(2)不能直接画出函数图像的，可以等价地转化为两个函数图像的交点，通过判断交点的个数得出函数零点的个数或要求的参数范围。【例题讲解】例1、设函数1()ln3fxxx，则函数()yfx（D）A.在区间1(,1)e，(1,)e内均有零点B.在区间1(,1)e，(1,)e内均无零点C.在区间1(,1)e内有零点，(1,)e内无零点D.在区间1(,1)e内无零点，(1,)e内有零点2解1：113'()33xfxxx，()fx在1(,)ee单调递减，11()103fee，1(1)03f，()103efe，由零点存在定理知，区间1(,1)e内无零点，(1,)e内有零点。解2：令()0fx，得1ln3xx，作出函数13yx和lnyx的图象，如右图，显然在区间1(,1)e内无零点，(1,)e内有零点。例2、设1()2,0()222,0xxfxxx，则()yfxx的零点个数是__2____。解：作出函数()yfx和yx的图象，如右图，由图可知直线yx与函数()fx的图象有两个交点，所以()yfxx有2个零点。例3、已知函数2,0()ln(1),0xaxxfxxx，()2()Fxfxx有2个零点，则实数a的取值范围是_______________。1(,]2解1：0x时，()2()2ln(1)Fxfxxxx，则21'()111xFxxx当01x，()Fx单调递增；当1x，()Fx单调递减；而max(0)0,()(1)0FFxF，(4)2ln540F，此时有1个零点；0x时，()Fx，只有1个零点，则222xaxx的根为0或正数，由22(21)0xax解得1202axx或，120a，解得12a。解2：令()0Fx，得()2xfx，作出()yfx和2xy的图象当0x时，22xxax恒成立，12ax，12a3例4、若函数1,0()ln,0kxxfxxx则当0k时，函数[()]1yffx的零点个数为(D)A.1B.2C.3D.4解：令()fxt，若[()]10yffx，则()1ft则1()(,0)fxt，2()(0,1)fxt对于1()fxt存在两个零点；对于2()fxt存在两个零点；综上可知，函数[()]1yffx有4个零点。例5、设2()(2)xxfxxeae，()22gxax（e为自然对数的底数），若关于x的方程()()fxgx有且仅有6个不同的实数解，则实数a的取值范围是（D）A.2(,)21eeB.(,)eC.(1,)eD.2(1,)21ee解：由()()fxgx得2(2)22xxxeaeax即22(2)220xxxeaxea令2()xtxehx，则220tata(2),2()(2),2xxxexhxxex，(1),2'()(1),2xxxexhxxex()hx的大致图象如右图：方程220tata在(0,)e上有两个不同的解12,tt时可以满足题意则224400()20aataeteeaea对解得2121eae4【归纳小结】1、解决此类问题的关键是数形结合；2、还应把握两类知识：(1)灵活构造函数；(2)图象的各类变换：平移、伸缩、对称、周期性变换等。【教学反思】数形结合思想是高中数学常用思想方法之一，可以使某些抽象的数学问题直观化、形象化，变抽象思维为形象思维，有利于把握数学问题的本质.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观，形少数时难人微;数形结合百般好，隔离分家万事休”，可见数和形是数学中两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.作为中学数学教师，在函数零点问题教学时渗透数形结合的思想，并在平时的训练中不断领悟和总结，可以促使学生在解决零点问题的能力上得到改善和提高！