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一下包括了几乎初中所涉及的所有动点问题解法动点最值问题解法探析一、问题原型：（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题二、基本解法：对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。三、一般结论：(在线段上时取等号)（如图1-2）线段和最小，常见有三种类型：（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。1.两个定点+一个动点。如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是。解析：与关于直线对称，连结，则。连结,在中，，，则故的最小值为例2（2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中，。（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。解析：（1）对称轴为，，由对称性可知：。根据、、三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：（2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。设直线解析式为：。把、代入得，。当时，，则2.两个定点+两个动点。两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。例3如图4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于河宽，且垂直于河岸。将向上平移河宽长到，线段与河北岸线的交点即为桥端点位置。四边形为平行四边形，，此时值最小。那么来往、两村最短路程为：。例4(2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，，为边的中点。（1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；（2）若，为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点，的坐标。解析：作点关于轴的对称点，则，。（1）连接交轴于点，连接，此时的周长最小。由可知，那么，则。（2）将向左平移2个单位（）到点，定点、分别到动点、的距离和等于为定点、到动点的距离和，即。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在上截取，连接交轴于，四边形为平行四边形，。此时值最小，则四边形的周长最小。由、可求直线解析式为，当时，，即，则。（也可以用（1）中相似的方法求坐标）（二）“|动定|+|动动|”型：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。例5（2009年陕西省中考）如图6，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为4。解析：角平分线所在直线是角的对称轴，上动点关于的对称点在上，，，当时，最小。作于，交于，∵，∴作交于，例6如图7，四边形是等腰梯形，、在轴上，在轴上，，，，，抛物线过、两点。（1）求、；（2）设是轴上方抛物线上的一动点，它到轴与轴的距离之和为，求的最大值；（3）当（2）中点运动到使取最大值时，此时记点为，设线段与轴交于点，为线段上一动点，求到点与到轴的距离之和的最小值，并求此时点的坐标。解析：（1）由，，，可得：、、、；根据、的坐标可求出抛物线解析式为（2）设，且，则，用零点分段法可求得，。当时，。此时，则。（3）轴与直线关于对称，作轴于，动点关于的对称点在直线上，，当垂直于直线时，的值最小。，根据和可求直线的解析式，则有。由可知，。作，过点作轴的平行线，交于，那么。作于，则，，当是于的交点时，与重合，有最小值5。函数，此时，则，即。3.“|定动|+|动动|+|动定|”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。例7（2009年漳州中考）如图8，，是内一点，，、分别是和上的动点，求周长的最小值。解析：分别作关于、的对称点、，连接，则，当、在线段上时，周长最小，∵，∴。则周长的最小值为例8（2009年恩施中考）恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，如图9建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（）位于两高速公路同侧，，到直线的距离为，到直线和的距离分别为和。请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。解析：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，。当、在线段上时，最小。过、分别作轴、轴的平行线交于。在中，，，交轴于，交轴于。，而∴四边形的周长最小值为：