《数形结合法在函数零点问题中的应用》教学设计

《数形结合法在函数零点问题中的应用》教学设计李志刚山东省安丘市第一中学【教学目标】函数的零点一直是近年来全国各地高考卷上的热点，因其综合性强，让很多同学感到困难.本文通过对高考试卷中有关零点问题的研究，来说明如何将数形结合思想运用于函数零点的问题中，使零点问题变得直观形象，从而有效地将问题解决.【教学思想、方法】数形结合分类讨论转化与化归函数与方程【教学过程】函数的零点是新课标中增加的内容，一直是近年来全国各地高考考查的热点.含有零点问题的试题常在函数、方程、图象等方面进行知识交汇，可以很好地考查高中的四大数学思想.所以零点问题常常以选择题、填空题、解答题等形式出现，是同学们最常见的失分点之一，这让很多同学感到学习上有障碍.另一方面，数形结合主要是指数与形建立的一一对应关系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过对图形的处理，化难为易，化抽象为直观.由于零点问题蕴含着丰富的数形结合思想，所以在高考试卷中一直备受青睐.通过对高考试卷上有关函数零点问题的研究，总结出如何将数形结合思想在零点问题中进行恰当地应用.题目中常有已知函数的零点个数，求参数的范围问题.零点的个数可以转化为方程的根的个数，再利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这种方法可以使问题直观地得以解决.多媒体展示：1.针对题型：(1)确定零点的大致范围，多出现在选择题中；(2)确定零点的个数问题，多出现在选择题中；(3)利用已知零点的个数求参数的范围，多出现在选择题、填空题、解答题中均有可能出现。2.解决方案：(1)直接画出函数图像，观察图像得出结论。(2)不能直接画出函数图像的，可以等价地转化为两个函数图像的交点，通过判断交点的个数得出函数零点的个数或要求的参数范围。例题讲解：已知函数2,0()ln,0kxxfxkRxx，若函数y＝|f(x)|+k有三个零点，则实数k的取值范围是().2.10.21.2AkBkCkDk[解析]：对于零点问题，先让函数等于零。然后移向构造两个函数，在同一坐标系中作出函数y＝|f(x)|的图像和y＝－k的图像，问题转化为两个函数图像有三个不同的交点．解：令|f(x)|+k=0，则|f(x)|=-k，在同一坐标系中作出函数y＝|f(x)|的图像和y＝－k的图像，问题转化为两个函数图像有三个不同的交点．由于|f(x)|≥0，故必须－k≥0，即k≤0.显然，k＝0时两个函数图像只有一个公共点，所以k0，此时两个函数图像有三个公共点，如图所示，只要－k≥2，即k≤－2．【注】结合FLASH课件展示动态图像，体现数形结合的重要性。归纳小结：1.解决此类问题的关键是数形结合；2.还应把握两类知识：(1)灵活构造函数；(2)图像的各类变换：平移、伸缩、对称、周期性变换等。【教学反思】在某个区间内若存在零点，可以考虑零点定理.但作为压轴题的最后一问，直接运用零点定理肯定会有难度，通过观察，发现出题者给出的第一问对第二问有提示作用，这样就可以创造条件来运用零点定理.这种现象在高考试卷最后的一两道解答题中经常会出现，另外，函数问题通常都要使用数形结合的思想，这样才可以使很多问题迎刃而解，且解法简捷.以高考题为例，对利用数形结合思想在函数零点问题中的应用做了初步研究.数形结合思想是高中数学四大常用思想方法之一，可以使某些抽象的数学问题直观化、形象化，变抽象思维为形象思维，有利于把握数学问题的本质.零点问题是高中数学的热点、难点，运用数形结合的思想，可以使零点问题不再让学生感到困难.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观，形少数时难人微;数形结合百般好，隔离分家万事休”，可见数和形是数学中两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.作为中学数学教师，在函数零点问题教学时渗透数形结合的思想，并在平时的训练中不断领悟和总结，可以促使学生在解决零点问题的能力上得到改善和提高！