新人教版九年级数学上册第21章一元二次方程导学案

第21章一元二次方程教材内容1．本单元教学的主要内容。概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac0，b2-4ac=0，b2-4ac0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需19课时，具体分配如下：21．1一元二次方程2课时21．2降次──解一元二次方程8课时21．3实际问题与一元二次方程3课时《一元二次方程》小结与复习2课时《一元二次方程》单元测试4课时第1课时一元二次方程（1）学习目标1、使学生了解一元二次方程的意义。2、通过提供实际问题的情境，让学生感受到在我们的生活、学习中方程知识的实际意义。3、能够根据具体问题中的数学关系，列出程体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。学习重点建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。学习难点在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？【分析】设宽为x米，则列方程得：x(x+10)=900；整理得x2+10x-900=0①【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。【分析】设这两年的年平均增长率为x，则列方程得：5(1+x)2=7.2；整理得5x2+10x-2.2=0②【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【分析】全部比赛共4×7=28场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它（x-1）队各赛1场，全场比赛共)1(21xx场，列方程得：28)1(21xx；整理得x2-x-56=0③鼓励学生独立解决问题，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．二、自主交流探究新知【探究】（1）上面三个方程左右两边是含未知数的整式（填“整式”“分式”“无理式”）；（2）方程整理后含有一个未知数；（3）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是二次。【归纳】1、一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。【注意】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。【补充练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程？（1）x3－２ｘ2＋５＝０；（２）x2＝１；（３）5x2-2x-41=x2-2x+53；（４）２（x＋１）2＝３（x＋１）；（５）x2－２x＝x2＋１；（６）ax2＋bx＋c＝０主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。三、自主应用巩固新知【例1】将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：3x2-3x=5x+10移项合并同类项，得：3x2-8x-10=0其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10。【注意】二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.【例2】将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．【分析】通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项合并同类项，得：2x2+2x-4=0其中二次项是2x2，二次项系数是2，一次项是2x，一次项系数是-8，常数项是-10。【例3】求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【分析】要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+10，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【练习】Р2712进一步巩固一元二次方程的基本概念四、自主总结拓展新知1、a≠0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。五、课堂作业P2812567（《课堂内外》对应练习）教学理念/教学反思第2课时一元二次方程（2）学习目标1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。学习重点一元二次方程解的探索。学习难点一元二次方程近似解的探索。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题1】把方程3x(x－1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。【问题2】判断下列方程哪些是一元二次方程？为什么？①x2+4x+x2=0②x2+3x－2=x2③x2－2xy－3=0④ax2+bx+c=0复习巩固一元二次方程的相关概念。二、自主交流探究新知【探究】猜测方程2560xx的解是什么？【归纳】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，又叫作一元二次方程的根．【问题3】下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．【问题4】认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。⑴x2-16=0⑵(x+3)(x-2)=0⑶(x-2)2=49⑷x2-2x+1=25【分析】要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根或两个数的积为0的意义来思考解题．解：⑴∵x2-16=0⑵∵(x+3)(x-2)=0∴x2=16∴x+3=0或x-2=0∴x=±4∴x=-3或x=2⑶∵(x-2)2=49⑷∵x2-2x+1=25∴x-2=±7∴(x-1)2=25∴x=9或x=-5∴x-1=±5∴x=6或x=-4探究一元二次方程根的概念以及作用．进一步巩固方程的根的含义．方程的根可以起到检验的作用——检验一个数是否是方程的根．三、自主应用巩固新知【例1】若x＝2是方程2450axx的一个根，你能求出a的值吗？【分析】根据根的定义可以知道，若一个数是方程的根，那么把这个数代入方程后，等号必定成立，于是可以构造出关于a的一元一次方程，进而解即可．解：∵x＝2是方程2450axx的一个根∴4850a，方程的根的另一个作用——代入方程使等号成立．解之得：a＝34．【例2】若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，求代数式2007(a+b+c)的值。【分析】如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程一定能使左右两边相等，这种解决问题的思维方法经常用到，同学们要深刻理解。解：∵x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根∴a+b+c=0∴2007(a+b+c)=0【练习】Р2812四、自主总结拓展新知1、一元二次方程根的概念；2、要会判断一个数是否是一元二次方程的根；3、要会用一些方法求一元二次方程的根．五、课堂作业P28348（《课堂内外》对应练习）【补充练习】1、方程x（x-1）=2的两根为【】．A．x1=0，x2=1B．x1=0，x2=-1C．x1=1，x2=2D．x1=-1，x2=22、方程x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．3、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．4、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1，则a+b+c=；若有一个根是-1，则b与a、c之间的关系为；若有一个根为0，则c=。5、如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．教学理念/教学反思第3课时解一元二次方程——配方法（1）学习目标1、使学生会用直接开平方法解一元二次方程。2、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。学习重点掌握直接开平方法解一元二次方程。学习难点灵活运用直接开平方法解一元二次方程。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题1】一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容．列出方程后，让设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：10×6x2=1500由此可得：x2=25根据平方根的意义，得x=±5即x1=5，x2=-5可以验证5和-5是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm。学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．二、自主交流探究新知【探究】对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x-1)