武汉艺术生文化课华英艺考高三百日提百分：数形结合思想

知识整合1.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法；2.数形结合把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.双基自测1.若函数f(x)=ax-x-a(a0,且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是.解析令g(x)=ax(a0，且a≠1)，h(x)=x+a,分0a1,a1两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，若函数f(x)=ax-x-a有两个不同的零点，则函数g(x),h(x)的图象有两个不同的交点，根据画出的图象知只有当a1时符合题目要求.a1双基自测2.已知函数f(x)=log2(x+1),且abc0,则的大小关系是解析作出函数f(x)=log2(x+1)的图象，如图，而的几何意义是图象上的点与坐标原点连线的斜率，由图象可知,)(,)(bbfaafccf)(()()()fafbfcabcxxf)(.)()()(ccfbbfaafxycbao双基自测3.设关于的方程在区间内有相异的两个实根则实数的取值范围0sincos3a0,.、43322,332ty0,34,2sin,,333原方程可化为2sin则解析：令atytt2sin3作的图像，可得-2a-yta不妨设d0.∴Sn是关于n的常数项为0的二次函数，其图象是由过原点的抛物线上的点构成.4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,公差d≠0且Sp=Sq（p≠q）,则Sp+q=.解析dnnnaSn2)1(1,)2(212ndand双基自测0又因抛物线对称轴方程为0pqS双基自测OABEDM,,2,,30,5.已知平面向量满足的夹角等于，且则的取值范围是abcababacbcc31,31,,0,,解析：设则=OAaOBbOCcacbcCACBminmax31,31点C的轨迹是以AB为直径的圆，由题意可得ABC为等边三角形cOMEMcOMMDC典例精析题型一数形结合在不等式中的应用x例1若关于的不等式只有负数解，求实数的取值范围.22xxtt解：原不等式可变现为22xxt分别画出和的图像22yxyxtoxy222xy答案：249t变式训练1已知，则满足不等式的的取值范围是21,0()1,0xfxxx2(1)(2)fxfxx解析：由图象可得题型二数形结合在方程中的应用典例精析例2已知1,1,mn且2222logloglog()log()2aaaamnaman，(1)a，求log()amn的最大值.log,logaaxmyn解析：令1,1,10,0mnaxy22222(1)2(1)2114方程可以化为即xyxyxylog又令=zmnxy22222(0)2当直线与圆相切时可得d=解得zzzyx0变式训练2.已知函数f(x)=|x2+2x|，若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数根，则b,c的大小关系是()解析令f(x)=t,则f2(x)+bf(x)+c=0①可化为t2+bt+c=0②要使①有7个根，即f(x)=|x2+2x|与f(x)=t有7个交点.xyo-2而f(x)=t中的一条直线经过f（x）=|x2+2x|折上去的顶点，故②式有一解t1=1,另一解t2∈(0,1)，所以b=-(t1+t2)∈(-2,-1),c=t1·t2∈(0,1).所有bc方程②必有两解，例3函数，其中e为自然对数的底．（1）若函数y＝f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围；（2）当b＞0时，判断函数y＝f(x)在区间(0，2)上是否存在极大值．若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围．()xfxebx0解法一：即方程e－＝有且只有一个解．xbx令＝，由＝＝得＝1．,10xxxeehxhxxxx0因为＝不满足方程，所以方程同解于＝xexbxx,00,111,,hxhx0极小值=1fxfe极小值xoy1e(0)eb的取值范－，围为0e xxxbxbxyybx解法二即方程e－＝有且只有一解，即＝有且只有一解．也即曲＝e与直＝有且只有一公共．个线线个点10xbybxy如，＜，直＝与＝e是有且只有一公共，足要求．图当时线总个点满1xyO1y＝exy＝bx（图1）1xyO1y＝exy＝bx（图2）00000020ee()eee()(00)1ee(0)eooxxxxxxxbybxyybxyxyxxyxxxbb如，，直＝与＝有且只有一公共，且直＝与曲＝相切．切，e，根据曲＝在＝的切方程：－＝－．把原，代入得＝，所以＝＝．上所述，的取值范－，．图当时线个点当仅当线线设点为线线为点综围为xylnb0xyolnb2xy0lnb2（2）当b＞0时，判断函数y＝f(x)在区间(0，2)上是否存在极大值．若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围．1.运用数形结合思想分析和解决问题时，首先要彻底弄清一些概念和运算的几何意义，以及曲线的方程特征，为运用数形结合思想作好基础性准备，对于题设中的条件和结论既要分析其几何意义，又要分析其代数意义，从而迅速找到两者的结合点，实现数形结合.规律总结规律总结2.应用数形结合思想方法解题，通常可以从以下几个方面思考：（1）函数、不等式与函数图象；（2）曲线与方程；（3）代数式的结构特征；（4）概念自身的几何意义；（5）参数蕴含的几何意义；（6）向量的两重性（代数性与几何性）；（7）可行域与目标函数.规律总结3.在运用数形结合思想解题时的注意点：（1）“以形助数”时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础.（2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势.“形”有直观、形象的特点，但代替不上具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是其真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用.双基自测1.已知0＜a＜1,则方程a|x|=|logax|的实数根的个数为解析在同一坐标系下，画出函数y=a|x|，y=|logax|的图象.2个oxy11xxxyxxxy(,4),40(4222即则设)0,2(4),0,40(4)2222是以于是xxyyxy解析为圆心，2为半径的半圆，而y=(a-1)x是过原点的直线束.2.设关于x的不等式的解集为A，且A{x|0x2},则a的取值集合是.xaxx142［2，+∞）巩固训练易得a-1≥1,即a≥2.yox224巩固训练3.设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.解设等差数列的首项为a1，公差为d,则S4=4a1+6d≥10，即2a1+3d≥5,S5=5a1+10d≤15，即a1+2d≤3.又a4=a1+3d,因此求a4的最值可转化为在线性约束条件限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域,如图，可知当a4=a1+3d，经过点A（1，1）时有最大值4.0,032,532111dadada4.已知定义域为D的函数)(xf，如果对任意x∈D,存在正数k,都有xkxf)(，那么称函数)(xf是D上的“倍约束函数”。已知下列函数：①)(xf=2x;②)(xf=2sin(x+4);③)(xf=1x;④)(xf=12xxx,其中是“倍约束函数”的是___________(写出所有满足条件的函数的序号)。巩固训练①③④