43数学培优竞赛新方法(九年级)-第19讲-圆中比例线段

1第19讲圆中比例线段知识纵横角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。1、相交弦定理如图①，若圆内两条弦AB、CD交于点P，则PDPCPBPA。2、切割线定理如图②，若从圆外一点P引圆的切线TP，和割线PAB，则PBPAPT2。3、割线定理如图③，若从圆外一点P引圆的两条割线PAB、PCD，则PDPCPBPA。例题求解【例1】如图，已知AB是o的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，若CEDE43，58AC,D点为EF的中点，则AB_______.(2011年全国初中数学联赛题)思路点拨设法求出AE，BE的长，可考虑应用相交弦定理、勾股定理等。【例2】如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若,5,4BEAB则DE的长为（）。POCDABAOPBTAOPBCD2A.3B.4C.415D.516（全国初中数学联赛题）思路点拨连AC、CE,由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创造条件。【例3】如图，已知o是ABC的外接圆，BC是o的直径，D是劣弧AC的中点，BD交AC于点E。（1）求证：DBDEAD2;（2）若,25,25CDBC求DE的长。（泸州市中考题）思路点拨对于（1），只需证明ADE∽BDA。图，已知AC为o的直径且ACPA，BC是o的【例4】如直线PB交直线AC于点D，.32DODCDPDB一条弦，（1）求证：直线PB是o的切线；（2）求BCAcos的值。（2011年呼和浩特市中考题）思路点拨对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2）将问题转化求线段的比值。【例5】如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E。（1）求证：CDBDBCAC2；3（2）若,52,3CDAE求弦AB和直径BC的长。（天津市竞赛题）分析由条件,90,BDCDBCABD延长BA、CD交于一点，向形外作辅助线，为构造相似三角形、切割线定理的运用创造条件。寻找不变性【例6】如图，AB是半圆O的直径，,2AB射线AM、BN为半圆O的切线。在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC。过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点,F过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q。（1）求证：ABC∽OFB；（2）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点。（2011年潍坊市中考题）思路点拨对于（2），即要证明,21BFFQBQ不妨从比例线段入手，能发现图中多对相似三角形是证题的关键。学力训练基础夯实1、如图，已知A、B、C、D是o上的四个点，,ABACAD交BC于点E，,4,3DEAE则AB的长为____________.(2011年黑龙江省中考题)2、如图，PAB、PCD为o的两条割线，若,11,7,5CDABPA则BDAC:____________.43、如图，AB、CD是o的两条线，它们相交于点P，连接AD、BD，已知,6,4PCBDAD那么CD的长是___________.4、如图，在ABC中，,6,10,90ACABC以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为（）。A.6.4B.3.2C.3.6D.85、如图，已知AB为o的直径，CB切o于B，CD切o于D，交BA的延长线于E。若,2,3EDAB则BC的长为（）。A.2B.3C.3.5D.46、如图，o与ABCRt的斜边AB切于点D，与直角边AC交于点E，且BCDE//。已知,6,23,22BCACAE则o的半径是（）。A.3B.4C.34D.327、如图，在锐角ABC中，AC是最短边，以AC中点O为5圆心，AC21长为半径作o，交BC于E，过O作BCOD//交o于D点，连接AE、AD、DC。（1）求证：D是弧AE的中点；（2）求证：BADBDAO；（3）若21OCDCEFSS，且,4AC求CF的长。（2012年桂林市中考题）8、如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为BCA的外角的平分线，F为弧AD上一点，,AFBC延长DF与BA的延长线交于E。（1）求证：ABD为等腰三角形；（2）求证：EFDFAFAC.(2011年黄冈市中考题)9、如图，已知AC是o的直径，,PCPA连接OP，弦OPCB//，直线PB交直线AC于.2,PABDD.（1）求证：直线PB是o的切线；（2）探究线段PO与BC之间的数量关系，并加以证明；（3）求OPAsin的值。（襄阳市中考题）能力拓展10、如图，已知ABC中，,5,11,90BCACC以C为圆心，BC为半径作圆交BA的延长线于点D，则AD的长为___________.（太原市竞赛题）611、如图，AB为圆的直径，若,4,5BDACAB则BEAE___________.（第19届江苏省竞赛题）12、如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点A，BCAH于H，若)2(,1aaPCPBPA，则PH__________.aA2.aB1.2.aC3.aD13、如图，ABC是o的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且ABEF//，若,2AB则DE的长（）21.A215.B23.C1.D14、如图，已知AB为o的直径，C为o上一点，延长BC至D，使BCCD，ADCE于E，BE交o于F，AF交CE于P，求证：PCPE.（太原市竞赛题）15、如图，已知ABC中，以AC边为直径的o交BC于点D，在劣弧AD上取一点E使DECEBC，延长BE依次交AC于G，交o于H。（1）求证：BHAC；7（2）若oABC,45的直径等于10，求CE的长。（2011宜宾市中考题）16、如图，PA、PB是o的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若,1,2CDPE求DE的长。综合创新17、如图，圆中的三条线1PP、1QQ、1RR两两相交，交点分别为A、B、C，已知111,CQBPARCRBQAP，求证：ABC是等边三角形。（北京市竞赛题）818、已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作o，o经过B、D两点，过点B作ACBK，垂足为K。过D作KBDH//，DH分别与AC、AB、o及CB的延长线相交于点E、F、G、H．(1)求证：CKAE；(2)如果aAB，AD13a(a为大于零的常数)，求BK的长：(3)若F是EG的中点，且6DE，求o的半径和GH的长．（2011成都市中考题）