导数及其应用

近几年该知识点的考查情况：高考命题预测主要题型（1）2001年高考第8题关于极值问题，第19题第（2）问证明函数的单调性；2002年高考第20题考查导数的几何意义；2003年高考的第7题与第19题，分别考查导数几何意义与函数的单调性。对导数的考查客观题为一个，与导数的知识有关的解答题也为一个。1、以填空、选择考查导数的概念，求函数的导数，求函数的极、最值。2、与导数的几何意义相结合的函数综合问题，利用导数证明函数的单调性或求函数的单调区间，多为中档题。3、利用导数求实际问题中的最值问题，为中档偏难题知识结构Ⅰ、导数的概念Ⅱ、几种常见函数的导数公式aaaeeexxxxxxxxQnnxxccxxxxaannlnlog1log1lnsincoscossin01）（，）（）（，）（），（）（）（）（为常数）（Ⅲ、求导法则Ⅳ、复合函数求导Ⅴ、导数的几何意义的切线的斜率．处）（，）在点（就是曲线），（处的导数）在点（函数0000xfxPxfyxfxxfyⅥ、导数的应用1．判断函数的单调性2．求函数的极值3．求函数的最值例2：用公式法求下列导数：（1）y=（3）y=ln(x+sinx)（2）y=（4）y=2)13(2xxxexcos2)1(log23x解(1)y′=(2)(3)(4)2)13(622)13(3)13(22)13()2(212221xxxxxxxxxxxxxxxysincos1)sin(sin1xexeyxxsincos2221log2)1(log1123232xexxexy例3、已知f(x)=2x2+3xf(1),则f(0)=解:由已知得:f(x)=4x+3f(1),∴f(1)=4+3f(1),∴f(1)=-2∴f(0)=4×0+3f(1)=3×(-2)=-6例4（2001文）已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1，试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间。分析：f(x)在x=1处有极小值-1，意味着f(1)=-1且f`(1)=0，故取点可求a、b的值，然后根据求函数单调区间的方法，求出单调区间。略解：单增区间为（-∞，-1/3）和（1，+∞）单间区间为（-1/3，1）1132'(1)1,(1)0fabf练习巩固：设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极值为-4（1）、求a、b、c的值（2）、求函数的单调区间答案（1）a=-3,b=0,c=0（2）单增区间为(-∞,0)和(2,+∞)•解:由已知,函数f(x)过原点(0,0),∴f(0)=c=0∵f(x)=3x2+2ax+b且函数f(x)与y=0在原点相切，∴f(0)=b=0即f(x)=x3+ax2由f(x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a432af49427833aa由已知即解得a=－3例1若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.1)1(2131)(23xaaxxxf解：函数的导数)(xf.1)(2aaxxxf令，解得0)(xf.11axx或不合题意上是增函数在函数时即当,),1()(,211xfaa,)1,()(,211上为增函数在函数时即当xfaa.),1(,)1,1(为增函数在内为减函数在aa依题意应有当.0)(,),6(,0)(,)4,1(xfxxfx时当时所以解得.614a.75a故a的取值范围是[5，7].例2已知在R上是减函数，求a的取值范围.13)(23xxaxxf解：函数f(x)的导数：.163)(2xaxxf（Ⅰ）当（）时，f(x)是减函数.0)(xfRx)(01632Rxxax012360aa且.3a∴当a－3时，由f′(x)0，知f(x)在R上是减函数；（II）当时，=3a133)(23xxxxf,98)31(33x由函数在R上的单调性，可知3xy当时，）是减函数；3aRxxf)((（Ⅲ）当时，在R上存在一个区间，其上有3a,0)(xf所以，当时，函数不是减函数.3a))((Rxxf综上，所求a的取值范围是（].3,例3如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(0t1)与曲线C1,C2分别交于B，D.（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值.OtxyDBAC1C2B解：（Ⅰ）由得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.,3233xxyxy),33(21||21|01|||21)(3ttBDBDSStfOBDABO即).10().(23)(3ttttf（Ⅱ）令解得.2329)(2ttf0)(tf.33t当从而在区间上是增函数；,0)(,330tft时)(tf)33,0(当从而在区间上是减函数；,0)(,133tft时)(tf)1,33(所以当时，有最大值为33t.33)33(f)(tf例4已知函数f(x)＝ax3+bx2－3x在x＝±1处取得极值。(1)讨论f(－1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程。解：323)()1(2bxaxxf0)1()1(ff依题意，.0323,0323baba0,1ba)1)(1(333)(,3)(23xxxxfxxxf则，令0)(xf1,1xx时，当),1()1,(x0)(xf时，当)1,1(x0)(xff(x)在(－∞，－１)，(１，＋∞)上是增函数，f(x)在(－1,1)上是减函数。所以，f(－１)＝2是极大值；f(１)＝－2是极小值。（2）曲线方程为y＝x3－3x，点A(0,16)不在曲线上.设切点为，则点M的坐标满足),(00yxM03003xxy因)1(3)(200xxf))(1(30200xxxyy故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(16020030xxxx830x20x即所以，切点为，)2,2(M0169yx切线方程为解f(x)=12x3-48x2+60x–24令f(x)=0，得驻点x=1，x=2，它们为f(x)可能的极值点，算出这些点及区间端点处的函数值：=12(x-1)2(x-2)，f(0)=4，f(1)=-3，f(2)=-4，f(3)=13，将它们加以比较可知在区间[0,3]上f(x)的最大值为f(3)=13，最小值为f(2)=-4.例5试求函数f(x)=3x4-16x3+30x2–24x+4在区间[0,3]上的最大值和最小值.53cos0.sin2xyxx求（）的最小值例6.453cosminyx时，当解：xxxxxy2sinsincos35sincos35'）（）（）（＝xx2sincos53＝53cos0'xy令0'53cos0'53cosyxyx时，当，，时当例7已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；（Ⅱ）设0ab,证明:0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.2ba解：（Ⅰ）函数的定义域为)(xf),1(，令0)(xf.0x解得,01时当xxxxf1)(,0)(xf,0时当x.0)(xf,0)0(f又故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值为0..1ln)(,ln)(xxgxxxg（Ⅱ）),2(2)()()(xagxgagxF设.2lnln])2([2)()(xaxxagxgxF则,0)(,0xFax时当为减函数；在),0()(axF,0)(,xFax时当.),()(为增函数在axF从而，当有极小值)(,xFax时).(aF,0,0)(abaF又,0)()(aFbF).2(2)()(0bagbgag则设,2ln)()()(axxFxG2ln2lnln)(xaxxG.0)(',0xGx时当xaxln为减函数在),0()(xG,0,0)(abaG又,0)()(aGbG.2ln)()2(2)()(abbagbgag即)2(2)()(0bagbgag综上所述：.2ln)(ab练习1：当时，证明:0xxxxx)1ln(1解：作函数)1ln(1)(xxxxf当x≥0时，，，2')1()(xxxf，0)('xf知f(x)单调递减，而x=0时，，0)(xf故当x0时，)0()(fxf.)1ln(1xxx，即0xxxg)1ln()(作函数，，xxxg1)('当x≥0时，，0)('xg知f(x)单调递减，，0)(xg而x=0时，故当x0时，)0()(gxg0,)1ln(,xx综上得原不等式成立.分析：导数反应函数在某点处的变化率，它的几何意义是相应曲线在该点处切线的斜率。二、能力题型例8、求函数y=ax3+bx2+cx+d的图像和y轴相交于p点，且曲线在p点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值为0，试确定函数的解析式。解：∵y=ax3+bx2+cx+d的图像和y轴交点p，∴p的坐标为p(0,d)又∵曲线在点p处的切线方程为12x-y-4=0且p点的坐标适合方程，从而d=-4又∵k=12，故在x=0处的导数y`/x=0=12而y`=3ax2+bx+c∴c=12又∵函数在x=2处取得极值为0∴解得：a=2,b=-9∴所求函数的解析式为y=2x3-9x2+12x-40124120204800)2(2'babayfx例9[思维提示]本题主要考察可导函数的导函数值与函数的关系，需要结合导数的定义，函数的单调性，极值的知识做出选择。这类题也可由原函数图像求导互数图像。[解]由y=f′(x)图像知，f(x)在(-∞,0)及(2,+∞)是增函数。在(0,2)上是减函数，x=0处取极大值。x=2处取极小值，故选C.高考数学专题复习专题六导数练习2：小结：1.利用导数的几何意义求切线的斜率；2.求函数的单调区间，只要解不等式f(x)＞0或f(x)＜0即可；3.求函数f(x)的极值，首先求f`(x),在求f`(x)=0的根，然后检查方程根左右两侧的导数符号而作出判定；4.函数f(x)在［a,b］内的最值求法：①求f(x)在（a,b）内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的为最小值。导数的应用主要表现在：