形式语言第四章参考答案

1.写出表示下列语言的正则表达式。⑴{0,1}*。解：所求正则表达式为：(0+1)*。⑵{0,1}+。解：所求正则表达式为：(0+1)+。⑶{x│x∈{0,1}+且x中不含形如00的子串}。解：根据第三章构造的FA，可得所求正则表达式为：1*(01+)*(01+0+1)。⑷{x│x∈{0,1}*且x中不含形如00的子串}。解：根据上题的结果，可得所求正则表达式为：ε+1*(01+)*(01+0+1)。⑸{x│x∈{0,1}+且x中含形如10110的子串}。解：所求正则表达式为：(0+1)*10110(0+1)*。⑹{x│x∈{0,1}+且x中不含形如10110的子串}。解：根据第三章的习题，接受x的FA为：要求该FA对应的正则表达式，分别以q0、q1、q2、q3、q4为终结状态考虑：q0为终态时的正则表达式：(0*(11*0(10)*(ε+111*11*0(10)*)0)*)*q1为终态时的正则表达式：0*1(1*(0(10)*111*1)*(0(10)*00*1)*)*S0110q0q1q2101110q3q4q2为终态时的正则表达式：0*11*0((10)*(111*11*0)*(00*11*0)*)*q3为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*1(11*11*0((10)*(00*11*0)*)*1)*q4为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*11(1*(11*0((00*11*0)*(10)*)*11)*)*将以上5个正则表达式用“+”号相连，就得到所要求的正则表达式。⑺{x│x∈{0,1}+且当把x看成二进制数时，x模5与3同余和x为0时，│x│=1且x≠0时，x的首字符为1}。解：先画出状态转移图，设置5个状态q0、q1、q2、q3、q4，分别表示除5的余数是0、1、2、3、4的情形。另外，设置一个开始状态q.由于要求x模5和3同余，而3模5余3,故只有q3可以作为终态。由题设，x=0时，│x│=1，模5是1，不符合条件，所以不必增加关于它的状态。下面对每一个状态考虑输入0和1时的状态转移。q:输入1，模5是1，进入q1。q0:设x=5n。输入0，x=5n*2=10n，模5是0，故进入q0输入1，x=5n*2+1=10n+1，模5是1，故进入q1q1：设x=5n+1。输入0，x=(5n+1)*2=10n+2，模5是2，故进入q2输入1，x=(5n+1)*2+1=10n+3，模5是3，故进入q3q2：设x=5n+2。输入0，x=(5n+2)*2=10n+4，模5是4，故进入q4输入1，x=(5n+2)*2+1=10n+5，模5是0，故进入q0q3：设x=5n+3。输入0，x=(5n+3)*2=10n+6，模5是1，故进入q1输入1，x=(5n+3)*2+1=10n+7，模5是2，故进入q2q4：设x=5n+4。输入0，x=(5n+4)*2=10n+8，模5是3，故进入q3输入1，x=(5n+4)*2+1=10n+9，模5是4，故进入q4则状态转移图如下：则所求的正则表达式为：1(010*1+(1+001*0)(101*0)*(0+110*1))*(1+001*0)(101*0)*⑻{x│x∈{0,1}+且x的第10个字符是1}。解：所求正则表达式为：(0+1)91(0+1)*。⑼{x│x∈{0,1}+且x以0开头以1结尾}。解：所求正则表达式为：0(0+1)*1。⑽{x│x∈{0,1}+且x中至少含两个1}。解：所求正则表达式为：(0+1)*1(0+1)*1(0+1)*。⑾{x│x∈{0,1}*和如果x以1结尾，则它的长度为偶数；如果x以0结尾，则它的长度为奇数}。解：所求正则表达式为：(0+1)2n+11+(0+1)2n0(n∈N)或0+(0+1)((0+1)(0+1))*1+(0+1)(0+1)((0+1)(0+1))*0。q1q1S01q2q30q410101q001⑿{x│x是十进制非负实数}。解：首先定义∑＝{.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}则所求正则表达式为：(0+1+…+9)*.(0+1+…+9)*。⒀Φ。解：所求正则表达式为：Φ。⒁{ε}。解：所求正则表达式为：ε。*********************************************************************************2.理解如下正则表达式，说明它们表示的语言（1）(00+11)+表示的语言特征是0和1都各自成对出现（2）(1+0)*0100+表示的语言特征是以010后接连续的0结尾（3）(1+01+001)*(+0+00)表示的语言特征是不含连续的3个0（4）((0+1)(0+1))*+((0+1)(0+1)(0+1))*表示所有长度为3n或2m的0，1串（n0,m0）（5）((0+1)(0+1))*((0+1)(0+1)(0+1))*表示所有长度为3n+2m的0，1串（n0,m0）（6）00+11+（01+10）（00+11）*（10+01）表示的语言特征为长度为偶数n的串.当n=2时，是00或11的串。n4时，是以01或10开头，中间的子串00或11成对出现，最后以10或01结尾的串*********************************************************************************************4.3.证明下列各式（1）结合律(rs)t=r(st)(r+s)+t=r+(s+t)1）证明对x∈(rs)t总可以找到一组x1x2x3使得x=x1x2x3其中x3∈tx1x2∈rs且x1∈r,x2∈s,则x2x3∈st因此x1(x2x3)∈r(st)即x1x2x3∈r(st)x∈r(st)得证因此(rs)tr(st)同理可证r(st)(rs)t则(rs)t=r(st)成立2)证明对x∈(r+s)+tx∈(r+s)或x∈t对于x∈r+sx∈r或r∈s，因此x∈r或x∈s或x∈tx∈r或x∈(s+t)x∈r+(s+t)所以(r+s)+tr+(s+t)同理可证r+(s+t)(r+s)+t则(r+s)+t=r+(s+t)成立（2）分配律r(s+t)=rs+rt(s+t)r=sr+tr1)证明对于x∈r(s+t)总可以找到x1x2使得x=x1x2其中x1∈r,x2∈（s+t）由x2∈（s+t）x2∈s或x2∈t则x1x2∈rs或x1x2∈rt所以r(s+t)rs+rt对于x∈rs+rtx∈rs或x∈rt且总可以找到一组x1x2使得x=x1x2其中x1∈r,x2∈s或x1∈r,x2∈tx1∈r，x2∈s或x2∈tx1∈r，x2∈(s+t)x1x2∈r(s+t)所以rs+rtr(s+t)则r(s+t)=rs+rt2)证明对于x∈(s+t)r总可以找到x1x2使得x=x1x2其中x1∈（s+t），x2∈r由x1∈（s+t）x1∈s或x1∈t则x1x2∈sr或x1x2∈tr所以(s+t)rsr+tr对于x∈sr+trx∈sr或x∈tr且总可以找到一组x1x2使得x=x1x2其中x1∈s,x2∈r或x1∈t,x2∈rx1∈s或x1∈t,x2∈rx1∈(s+t),x2∈rx1x2∈(s+t)r所以sr+tr(s+t)r则(s+t)r=sr+tr(3)交换律r+s=s+r证明对于x∈r+sx∈r或x∈sx∈s或x∈rx∈s+r所以r+ss+r同理可证s+r∈r+s则r+s=s+r（4）幂等律r+r=r证明对于x∈r+rx∈r或x∈rx∈r所以r+rr对于x∈rx∈r或x∈rx∈r+r所以rr+r因此r+r=r（5）加法运算零元素：r+=r证明对于x∈r+x∈r或x∈x∈r所以r+r对于x∈rx∈r或x∈x∈r+所以rr+因此r+=r(6)乘法运算单位元：rε=εr=r证明：∵对xRx=x=x∴R{}={}R=R∴r=r=r(7)乘法运算零元素：r=r=证明：∵对xRx=x=∴R{}={}R=R∴r=r=(8)*=ε证明*=0∪1∪2∪3…...=ε∪1∪2∪3…...=ε(9)(r+ε)*=r*由第一章的作业1.30中的第九题(L1∪{ε})*=L1*其中L1为正则语言又r为正则表达式正则语言可以用正则表达式表示，因此显然有(r+ε)*=r*成立(10)(r*s*)*=(r+s)*由第一章的作业1.30中的第八题(L2∪L1)*=(L2*L1*)*其中L1、L2为正则语言又r、s为正则表达式正则语言可以用正则表达式表示，因此显然有(r+s)*=(r*s*)*成立即(r*s*)*=(r+s)*成立(11)(r*)*=r*由第一章的作业1.30中的第三题(L1*)*=L1*其中L1为正则语言又r为正则表达式正则语言可以用正则表达式表示，因此显然有(r*)*=r*成立*********************************************************************************4下面各式成立吗？请证明你的结论(1)(r+rs)*r=r(sr+r)*证明：成立。如果对所有的k=0,(r+rs)kr=r(sr+r)k成立，则(r+rs)*r=r(sr+r)*肯定成立可以用归纳法证明(r+rs)kr=r(sr+r)k对所有的k=0成立I.k=0时候，(r+rs)0r=r=r(sr+r)0II.假设k=n时候(r+rs)nr=r(sr+r)n成立，往证k=n+1时候结论成立(r+rs)n+1r=(r+rs)n(r+rs)r=(r+rs)n(rr+rsr)=(r+rs)nr(r+sr)=r(sr+r)n(r+sr)=r(sr+r)n(sr+r)=r(sr+r)n+1这就是说，结论对k=n+1成立，即证明了(r+rs)kr=r(sr+r)k对所有的k=0成立，所以(r+rs)*r=r(sr+r)*(2)t(s+t)r=tr+tsr证明：不成立。不妨取r=0,s=1,t=2,则t(s+t)r=2(1+2)0=210+230,但tr+tsr=20+210.(3)rs=sr证明：不成立。不妨取r=0,s=1,显然rs=01,而sr=10.(4)s(rs+s)*r=rr*s(rr*s)*不成立，假设r,s分别是表示语言R，S的正则表达式，例如当R={0}，S={1},L(s(rs+s)*r)是以1开头的字符串，而L(rr*s(rr*s)*)是以0开头的字符串.L(s(rs+s)*r)L(rr*s(rr*s)*)所以s(rs+s)*rrr*s(rr*s)*,结论不成立(5)(r+s)*=(r*s*)*证明：结论成立。I.L(r+s)=L(r)L(s),L(r)=L(rs0)L(r*s*),L(s)=L(r0s)L(r*s*)那么L(r+s)=L(r)L(s)L(r*s*)，(L(r+s))*(L(r*s*))*,L((r+s)*)L((r*s*)*),所以(r+s)*(r*s*)*II.(r+s)*=((r+s)*)*,对任意m,n=0,rmsn(r+s)m+n，所以r*s*(r+s)*(r*s*)*((r+s)*)*=(r+s)*由I，II可以知道(r*s*)*(r+s)*，(r+s)*(r*s*)*得到(r+s)*=(r*s*)*(6)(r+s)*=r*+s*不成立，假设r,s分别是表示语言R，S的正则表达式，例如当R={0}，S={1},L((r+s)*)={x|x=或者x是所有由0,1组成的字符串}L(r*+s*)=L(r*)L(s*)={,0,00,000,……}{,1,11,111,……}L((r+s)*)L(r*+s*),例如10L((r+s)*),10L(r*+s*)*************************************