河北专接本高等数学---线性代数复习内容

阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]第二篇线性代数第九章行列式第一节二阶、三阶行列式A、基本知识一．二、三阶行列式1．用记号表示代数和称为二阶行列式，即=图线记忆：实线表示乘积项取“正”号，虚线表示乘积项取“负”号．行列式一般用字母来表示，行列式是一个数，用记号表示．2．代数和称为三阶行列式．即：=图线记忆：实线表示乘积项取“正”号，虚线表示乘积项取“负”号．B．例题分析例1．例2设=问：当为何值时=0；当为何值时≠0．=当或时，=0；当且时，．阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]例3=1×0×6+2×5×+3×4×0—1×5×0—2×4×6—3×0×=．例4,满足什么条件时，有的充分必要条件是?解两题由计算可知分别是；或．第二节阶行列式A．基本知识一．排列与逆序1．排列定义：由个不同数码1，2，3，……组成的有序数组，称为一个级排列．（1234及4321都是4级排列）．2．逆序数定义：在一个级排列中，如果有较大的数排在较小的数前（），则称与构成一个逆序．一个级排序中逆序的总数称为的逆序数，记为()．如果（）是奇数，则称为奇排列；如果（）是偶数或0，则称为偶排列．二．行列式1．行列式定义：所有不同行不同列的元素乘积的代数和．每一项的正负号由行的逆序数和列的逆序数决定，若行的逆序数+列的逆序数=奇数，则取“—”反之取“+”．阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel0311-898072772282．三角形行列式：==称为下三角行列式；==称为上三角行列式；==称为对角行列式．B．例题分析例1（213）=1所以213为奇排列；（23154）=3所以23154为奇排列．例2求下列乘积项中的逆序数．解8，8例3为5阶行列式中带负号项，求．解．第三节行列式性质A．基本知识性质1：将行列式转置，行列式的值不变．即．例1=（行变列，或列变行）性质2：交换行列式两行（列）行列式的值变号．阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]例2=—=—．推论：如果行列式中有两行（列）对应元素相同或成比例，则行列式值为0．例3=0=0．性质3：用数乘行列式某一行(列)，等于以数乘此行列式．例4．推论1：如果行列式中某行(列)所有元素有公因子，则可提到行列式外．例5已知=1，求可知．推论2：如果行列式的某一行（列）元素全部为零，那么此行列式值为零．性质4：如果将行列式中的某一行(列)的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行(列)对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同．阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]．例6+．性质5：将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式值不变．B．例题分析例1==—=—=—=—=．例2==．例3计算．解该行列式的特点是各行3个数之和都为，把第2,3列同时乘以1加到第1列上，再把第1行乘以，加到第2行，第3行，变成了上三角行列式，直接计算对角线数相乘的值．阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]．第四节行列式按行（列）展开A．基本知识一.余子式概念：在阶行列式中，=中去掉元素所在的第行与第列后，余下的阶子式，称为中元素的余子式，记为．例1二.代数余子式概念：的余子式前添加称为元素的代数余子式．记作=．例2三．代数余子式的相关定理1．定理1D==（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n）阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]值运算：阶行列式=||等于它的任意一行（列）各元素与其对应代数余子式乘积的和．例3将行列式按第一行，第三列展开．解按第一行展开得：按第三列展开得：2．定理20=或0=（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n）．零运算：阶行列式D=||的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积的和等于0．例4计算1+0+=解由题可知是第一行的元素与第二行的代数余子式的乘积的和，构造新的行列式，该行列式的值为0，按照第二行展开1+0+=0，所以原题的解为0．结论．把定理和行列式的性质结合起来，可以使行列式的计算大为简化．计算行列式值时，常常利用行列式的性质使某一行（列）的元素出现尽可能多的零，这种运算叫做化零运算．阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]第五节克莱姆法则A．基本知识二元一次方程组当时，推广到元一次方程组．一．非齐次线性方程组解的定理：线性方程当系数行列式0时，有且仅有唯一解．例1二．齐次线性方程组解的定理：1．当非齐次线性方程组的常数项均为零时，称为齐次线性方程组．2．齐次线性方程组解的定理：．例2所以方程组仅有零解．B．例题分析阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]例1求当为何值时，方程组仅有零解，有非零解．=方程组有非零解；方程组仅有零解．例2只有零解，则取什么值？解方程组的系数行列式，所以当时，，方程组只有零解．C．真题演练例1线性方程组只有零解，则（200401）．解方程组只有零解的充要条件是，即．例2如果方程组有无穷多解，那么（200503）．解齐次线性方程组有无穷多解，即有非零解的充要条件为系数行列式值为零，即解得或．例3若齐次线性方程组有非零解，则（200701）．解齐次线性方程组有非零解的充要条件为系数行列式值为零，即阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]，解得或．例4已知三阶行列式，则（200902）解例5四阶行列式的值等于（）（201001）．．．．．解所以选．例6设四阶矩阵，，其中均为4维列向量，且已知行列式，，则行列式（）（200601）．．20．30．40．50解由且易知由，且，易知将上述结果代入，可得．所以选．例7计算四阶行列式的值（200702）．阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]解：原式．例8设三阶方阵＝(),其中（j=1,2,3)为的第j列，且的行列式=2,若=（,+,）则的行列式值=（）（200901）．．16．12．54．6解本题考查的是方阵及行列式的性质．，所以选．例9若行列式，则k=（）（200903）．．．5．．3解本题考察三阶行列式计算，选．第九章练习题1．计算下列行列式．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]（13）2．解方程．（1）=0（2）3．用克莱姆法则进行求解．（1）方程组有非零解的条件是．（2）设方程组仅有零解，则满足．（3）设方程组有非零解，则满足．（4）设方程组有非零解，则满足．第九章练习题答案1．（1）14；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）210；（8）2；（9）143；（10）；（11）；（12）；（13）．2．（1）；（2）．3．（1）或；（2）且；（3）或；（4）或．本章小结行列式的核心内容是求行列式值，包括具体行列式的计算和个别抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和阶两种类型．主要方法是应用行列式按行或者列展开定理和化为上下三角行列式求解，还可能用到的方法包括：行列式的定义（阶行列式的值为取自不同行、不同列的各个元素的乘积的代数和）、行列式的性质（如“数乘行列式等于用此数乘一行列式中的某一行或某一列”）．对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于考虑、、等的相关性质．阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]第十章矩阵第一节矩阵的概念A．基本知识例1某企业生产5种产品的季度产值（单位：万元）1234518058757879298708584833907590819048870828091可以写成排成4行5列的产值矩阵．一．矩阵的概念：由•个数排成一个行列的矩阵表，称为一个•矩阵，记作：或，一般用大写字母A,B,C……表示矩阵．为表明矩阵的行数和列数可用表示，或记作．二．矩阵形状：1．所有元素均为0的矩阵，称为0矩阵，记作．2．所有元素均为非负数的矩阵，称为非负矩阵．3．如果=的行数与列数都等于，则称为阶方阵．只有方阵，才有行列式值．即，不是方阵没有行列式值．如果两矩阵，有相同行数与列数，且对应位置元素均相等则称与相等，记作．第二节矩阵的运算阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]A．基本知识一．矩阵的加法和数与矩阵的乘法．1．加法：=例1===2．数乘：=例2==3．矩阵运算律：，，，都是矩阵，，是数，则（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）验证=为方阵===二．矩阵的乘法：设矩阵=的列数与矩阵=的行数相同，则由元素阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]构成的行列矩阵(•)．1．•矩阵相乘后得到新矩阵的形状．例：不可乘，可乘•2．两个矩阵相乘，内部决定可乘与否，外部决定新形状．例3，求，．；．结论：，若，则称与可交换．乘法口诀：①矩阵的每一行与矩阵每一列对应元素乘积的和；②不换行则新矩阵不换行．3．乘法运算法则：（1）=（2）=（3）=（4）==4．矩阵乘法的重要结论：B．例题分析例1==阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]．例2求．解：==．例3=为三阶矩阵，若已知，求=_______．解已知矩阵为三阶矩阵，由此得知，所以．例4，．求．==．例5，．求，．，．例6求，为二阶矩阵．解设，则有==，阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]所以，解得所以．第三节几种特殊矩阵A．基本知识一．对角矩阵：（）1．数乘：2．加法：3．乘法：4．如果为对角矩阵则．二．数量矩阵：对角矩阵中，元素时称为阶数量矩阵．以数量矩阵左乘或右乘（前提是可乘）一个矩阵，其乘积等于以数乘矩阵．，•=•阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]三．单位矩阵（I或E）：如果阶数量矩阵中元素时．则为单位矩阵，记作或．，．单位矩阵与任何矩阵左乘或右乘（前提是可乘）仍等于任何矩阵．•，•．四．三角形矩阵：上三角形矩阵，下三角形矩阵．B．例题分析例1求，，．解，，．例2求．解．阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]第四节逆矩阵A．基本知识一．逆矩阵定义：对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得．那么矩阵称为可逆矩阵．而称为的逆矩阵．（如果可逆，的逆矩阵是唯一的）将的逆矩阵记作，．1．矩阵=（）可逆的充要条件是：为非奇异．2．伴随矩阵：即代数余子式矩阵的转置．即．3．代数余子式求逆矩阵：．是||中元素的代数余子式．二．对角矩阵的逆矩阵：=，其中．三．逆矩阵性质及公式：1．（1）（2）（3）（4）（5）2．（1）（2）（3）（4）B．例题分析例1=求．所以可逆．阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Tel[phone]，=，于是=，．例2，求．．例3设阶矩阵满足，证明为可逆矩阵，并求，（为常数，且）．证明：，可逆，．例4判断正误．，，为同阶矩阵，且可逆：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．解（1）因为可逆，所以，则；（2）无法推出，反例：；（3）因为可逆；（4）无法推出，反例：．阿樊教育考试辅导中心------QQ161984524Te