1.2导数的计算(2)

1.2导数的计算(2)复习导函数的定义00()()()limlimxxyfxxfxfxyxx今后我们可以直接使用的基本初等函数的导数公式表11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则1.()()()()fxgxfxgx2.()()()()()()fxgxfxgxfxgx2()()()()()3.(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx导数运算法则2.()()cfxcfx22()2xaaxx＇解ｆ22ax2()()fxax()fx＇练习设,计算.新课练习求及,2sincos4)(3xxxf)2()(fxf解2()34sinfxxx23()424f练习求函数的导数。2lnxyx2'2ln2lnxxyxx练习求函数的导数233xyx222)3(36'xxxy例1假设某国家20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：其中p0为t＝0时的物价.假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？0()(15%)tptp()1(15%)1.05ttpt解分析：05.1ln05.1)('ttp)/(08.005.1ln05.1)10('10年元p答:在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度约0.08元/年.例3日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%所需费用(单位：元)为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率.（1）90%；（2）98%.5284()(80100).100cxxx解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.)'1005284()('xxc2)100()'100(5284)100('5284xxx2)100()1(5284)100(0xx2)100(5284x84.52)90100(5284)90(')1(2c因为答:纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨1321)98100(5284)98(')2(2c因为答:纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨.例已知f(x)的导数f(x)=3x2-2x+4,且f(0)=2,求f(x).解:∵f(x)=3x2-2x+4,∴可设f(x)=x3-x2+4x+c∵f(0)=2,∴c=2.∴f(x)=x3-x2+4x+2例若水以3/cms的速度灌入高为15cm，底面半径为5cm的倒圆锥形容器中（如图），(1)求第8s末水位上升的瞬时速度；(2)求水深为3cm时，水位上升的瞬时速度.15cmrh5cm解设第ts末水深为hcm,则21()33hht133ht23h＇＝ｔ(1)(8)0.25h＇(2)31ht时(1)1h＇例如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.解:∵切线与直线y=4x+3平行,∴切线斜率为4.又切线在x0处斜率为y|x=x0∴3x02+1=4.∴x0=1.当x0=1时,y0=-8;当x0=-1时,y0=-12.∴切点坐标为(1,-8)或(-1,-12).切线方程为y=4x-12或y=4x-8.=(x3+x-10)|x=x0=3x02+1.例已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x00),求直线l的方程及切点坐标.解:由直线l过点(x0,y0)，其斜率k=,x0y0∵点(x0,y0)在曲线C上,∴y0=x03-3x02+2x0.∴=x02-3x0+2.x0y0又y=3x2-6x+2,∴在点(x0,y0)处曲线C的切线斜率k=y|x=x0.∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.整理得2x02-3x0=0.解得x0=(∵x00).32这时y0=-,k=-.3814∴直线l的方程为y=-x,14切点坐标是(,-).3832例已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有公共切线,求f(x)、g(x)的表达式.解:∵f(x)=2x3+ax的图象过点P(2,0),∴a=-8.∴f(x)=2x3-8x.∴f(x)=6x2-8.∵g(x)=bx2+c的图象也过点P(2,0),∴4b+c=0.又g(x)=2bx,f(2)=g(2),∴b=4.∴c=-16.∴g(x)=4x2-16.综上所述,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.164b作业P18７，８