初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-第11讲-双曲线

1第十一讲双曲线形如xky(0k)的函数叫做反比例函数，它的图象是由两条曲线组成的双曲线，与双曲线相关的知识有：1．双曲线解析式xky中的系数k决定图象的大致位置及y随x变化的状况．2．双曲线图象上的点是关于原点O成中心对称，在k0时函数的图象关于直线xy轴对称；在k0时函数的图象关于直线xy轴对称．3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴．【例题求解】【例1】已知反比例函数xky的图象与直线xy2和1xy过同一点，则当0x时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而(填增大或减小)．思路点拨确定k的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可．注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点O中心称，关于xy轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性．(2)一个常用命题：如图，设点A是反比例函数xky(0k)的图象上一点，过A作AB⊥x轴于B，过A作AC⊥y轴于C，则①S△AOB=k21；②S矩形OBAC=k．【例2】如图，正比例函数kxy(0k)与反比例函数xy1的图象相交于A、C两点，过A作AB⊥x轴于B，连结BC，若S△ABC的面积为S，则()A．S=1B．S=2C．S=kD．S=2k2思路点拨运用双曲线的对称性，导出S△AOB与S△OBC的关系．【例3】如图，已知一次函数8xy和反比例函数xky(0k)的图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．(1)求实数k的取值范围；(2)若△AOB面积S＝24，求k的值．(2003年荆门市中考题)思路点拨(1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解；(2)S△AOB=S△COBS-S△COA，建立k的方程．【例4】如图，直线221xy分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴于B，S△ABP=9．(1)求点P的坐标；(2)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作PT⊥x轴于F，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．思路点拨(1)从已知的面积等式出发，列方程求P点坐标；(2)以三角形相似为条件，结合线段长与坐标的关系求R坐标，但要注意分类讨论．【例5】如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数xky(0k，0x)的图象上，点P(m，n)是函数xky(0k，0x)的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．(1)求B点坐标和k的值；3(2)当29S时，求点P的坐标；(3)写出S关于m的函数关系式．思路点拨把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含n的代数式表示，解题的关键是双曲线关于xy对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密．注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种条件的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程(组)，解方程(组)便可求得有关点的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论．学历训练1．若一次函数bkxy的图象如图所示，则抛物线bkxxy2的对称轴位于y轴的侧；反比例函数xkby的图象在第象限，在每一个象限内，y随x的增大而．2．反比例函数xky的图象经过点A(m，n)，其中m，n是一元二次方程042kxx的两个根，则A点坐标为．3．如图：函数kxy（k≠0）与xy4的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，则△BOC的面积为．44．已知，点P(n，2n)是第一象限的点，下面四个命题：(1)点P关于y轴对称的点P1的坐标是(n，-2n)；(2)点P到原点O的距离是5n；(3)直线y=-nx+2n不经过第三象限；(4)对于函数y=nx，当x＜0时,y随x的增大而减小；其中真命题是.(填上所有真命题的序号)5．已知反比例函数y=1mx的图像上两点A(x1，y1)、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2,则m的取值范围是()A．m＜OB．m＞0C.m＜12D.m＞126．已知反比例函数xky的图象如图所示，则二次函数222kxkxy的图象大致为()7．已知反比例函数),0(kxky当0x时，y随x的增大面增大，那么一次函数kkxy的图象经过()A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限8．如图，A、B是函数xy1的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如果四边形ACBD的面积为S，那么()A．S＝1B．1S2C．S2D．S＝29．如图，已知一次函数y=kx+b(k≠O)的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=xm(m≠0)的图像在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=l．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．510．已知A(x1、y1)，B(x2，y2)是直线2xy与双曲线xky(0k)的两个不同交点．(1)求k的取值范围；(2)是否存在这样k的值，使得211221)2)(2(xxxxxx?若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．11．已知反比例函数2kyx和一次函数y＝2x-1，其中一次函数图像经过(a，b)，(a+1，b+k)两点．(1)求反比例函数的解析式；(2)如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A点坐标；(3)利用(2)的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使ΔAOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.12．反比例函数xky的图象上有一点P(m，n)，其中m、n是关于t的一元二次方程032ktt的两根，且P到原点O的距离为13，则该反比例函数的解析式为．13．如图，正比例函数xy3的图象与反比例函数xky(0k)的图象交于点A，若k取1，2，3…20，对应的Rt△AOB的面积分别为S1，S2，…，S20，则S1+S2+…+S20=．14．老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图像不经过第三象限；乙：函数图像经过第一象限；丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；丁：当x＜2时，y＞0已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个．．函数：．15．已知反比例函数xy12的图象和一次函数7kxy的图象都经过点P(m，2)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A、B的横坐标分别为a和2a，求a的值．616．如图，直线经过A(1，0)，B(0，1)两点，点P是双曲线xy21(0x)上任意一点，PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F．(1)求证：AF×BE＝1；(2)若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．(2003年江汉油田中考题)17．已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，设点A的坐标为(x，y)，其中x0，y0．(1)求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；(2)用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：方法：∵2222()2kkaakaa(k为常数且k0，a≠0)，且2()0kaa∴．2222kaka．∴当kaa=0，即ak时，222kaa取得最小值2k．问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小?并求出S的最小值；(3)如果直线y=mx+2(m0)与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，使得点P、Q与(2)中求出的点A构成△PAQ的面积是矩形ABCD面积的16?若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．7参考答案8