初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-第4讲-明快简捷

1第四讲明快简捷—构造方程的妙用有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是：1．利用根的定义构造当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根．2．利用韦达定理逆定理构造若问题中有形如ayx，bxy的关系式时，则x、y可看作方程02bazz的两实根．3．确定主元构造对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果．注：许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法．【例题求解】【例1】已知x、y是正整数，并且23yxxy，12022xyyx，则22yx．思路点拨xyyxyx2)(222，变形题设条件，可视yx、xy为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解．【例2】若1ab，且有09200152aa及05200192bb，则ba的值是()A．59B．95C．52001D．92001思路点拨第二个方程可变形为09200152bb，这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程入手．【例3】已知实数a、b满足122baba，且22baabt，求t的取值范围．思路点拨由两个等式可求出ba、ab的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．2【例4】已知实数a、b、c满足2cba，4abc．(1)求a、b、c中最大者的最小值；(2)求3cba的最小值．思路点拨不妨设a≥b，a≥c，由条件得acb2，abc4．构造以b、c为实根的一元二次方程，通过△≥0探求a的取值范围，并以此为基础去解(2)．注：构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式△≥0，建立含参数的不等式，缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用．【例5】试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．(2003年全国初中数学联赛试题)思路点拨设前后两个二位数分别为x，y，则有yxyx100)(2，将此方程整理成关于x(或y)的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定y(或x)的取值范围．学历训练1．若方程01)32(22xmxm的两个实数根的倒数和是s，则s的取值范围是．2．如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5，CD⊥AB，已知BC、AC是一元二次方程0)1(4)12(2mxmx的两个根，则m的值是．3．已知a、b满足0122aa，0122bb，则abba=．4．已知012，012，，则的值为()A．2B．-2C．-1D．05．已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，则四边形ABCD的面积S的最小值为()A．21B．25C．26D．366．如图，菱形A6CD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程的根，则m的值为()A．一3B．5C．5或一3n一5或37．已知0522pp，01252qq，其中p、q为实数，求221qp的值．38．已知x和y是正整数，并且满足条件71yxxy，88022xyyx，求22yx的值．9．已知05232mm，03252nn，其中m、n为实数，则nm1＝．10．如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式14162222aacb与542aabc，那么a的取值范围是．11．已知017101422522yxxyyx，则x=，y=．；12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c，若D、E分别是AB和AB延长线上的两点，BD=BC，CE⊥CD，则以AD和AE的长为根的一元二次方程是．13．已知a、b、c均为实数，且0cba，2abc，求cba的最小值．14．设实数a、b、c满足066078222abccbabca，求a的取值范围．15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，813ABCABCDSS梯形，梯形的高AE=235，且401311BCAD．(1)求∠B的度数；(2)设点M为梯形对角线AC上一点，DM的延长线与BC相交于点F，当323125ADMS，求作以CF、DF的长为根的一元二次方程．16．如图，已知△ABC和平行于BC的直线DE，且△BDE的面积等于定值2k，那么当2k与△BDE之间满足什么关系时，存在直线DE，有几条?4参考答案