新人教版八年级数学《线段的垂直平分线的性质和判定》

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ABlP1P2P3P4如图,木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3P4,…是l上的点,分别量出点P1,P2,P3P4,…到A与B的距离,你有什么发现?发现:AP1=BP1;AP2=BP2;AP3=BP3;AP4=BP4.动动手,你也会有发现!画线段AB的垂直平分线l,在l上取任意点P,量一量点P到A与B的距离,你有什么发现?再取几个点试试。你能说明理由吗?结论:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.已知:如图,直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在l上.求证:PA=PB.探索并证明线段垂直平分线的性质求证:“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.”ABPClABCPl已知:直线l⊥AB,垂足是C,AC=CB,点P在l上。求证PA=PB.证明:∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90°又∵AC=CB,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)∴PA=PB线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。线段垂直平分线的性质:PAlCB几何语言:∵l⊥ABAC=BC∴PA=PB8课堂练习练习1如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC与E,则△ADE的周长等于______.ABCDE解:∵AD⊥BC,BD=DC,∴AD是BC的垂直平分线,∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上,∴AC=CE.∴AB=AC=CE.∵AB=CE,BD=DC,∴AB+BD=CD+CE.即AB+BD=DE.课堂练习练习2如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,AB,AC,CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系?ABCDE探索并证明线段垂直平分线的判定反过来,如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?点P在线段AB的垂直平分线上.已知:如图,PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.PABC探索并证明线段垂直平分线的判定证明:过点P作线段AB的垂线PC,垂足为C.则∠PCA=∠PCB=90°.在Rt△PCA和Rt△PCB中,∵PA=PB,PC=PC,∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL).∴AC=BC.又PC⊥AB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.PABC已知:如图,PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。线段垂直平分线的判定:PAlCB几何语言:∵PA=PB∴P是AB的垂直平分线上的点这些点能组成什么几何图形?探索并证明线段垂直平分线的判定你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗?能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点?在线段AB的垂直平分线l上的点与A,B的距离都相等;反过来,与A,B的距离相等的点都在直线l上,所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合.PABC解:∵AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线.∵MB=MC,∵点M在BC的垂直平分线上,∴直线AM是线段BC的垂直平分线.课堂练习练习3如图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?ABCDM1、∵,∴AB=AC。理由:2、∵,∴A在线段BC的中垂线上理由:AD是BC的中垂线AB=AC线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。BCAD3、如图,NM是线段AB的中垂线,下列说法正确的有:。①AB⊥MN,②AD=DB,③MN⊥AB,④MD=DN,⑤AB是MN的垂直平分线ABMND①②③4如图,若AC=12,BC=7,AB的垂直平分线交AB于E,交AC于D,求△BCD的周长。DCBEA解:∵ED是线段AB的垂直平分线∴∵C△BCD=BD+DC+BC∴C△BCD===BD=ADAD+DC+BCAC+BC12+7=191.垂直平分线的定义:∵MN是AB的垂直平分线∴,;2.垂直平分线的性质:∵MN是AB的垂直平分线∴()3.垂直平分线的判定:∵PA=PB∴()MN⊥ABPABMNDAD=BDPA=PB线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等P在AB的垂直平分线上与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

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