方差的性质及应用论文

存档编号_________赣南师范学院数学与信息科学学院学士学位论文方差的性质及其应用系别数学与信息科学学院届别2010届专业数学与应用数学学号1020151237姓名鄢婷指导老师罗友泉完成日期2013年12月目录内容摘要...................................................1关键词.....................................................1Abstract....................................................1Keywords...................................................11引言.....................................................22方差的基本性质及其证明..................................22.1方差的定义.............................................22.2方差的性质..............................................63方差在现实生活中的应用..................................83.1方差在经济管理决策中的应用..............................83.2方差在仪器比较方面的应用...............................93.3方差在农业决策问题中的应用............................114总结...................................................12参考文献..................................................1311内容摘要：方差的性质及相关结论是概率论中的一个重要概念。本文讲述了方差的定义和性质，并用方差解决了一些生活中的实际问题。关键词：方差性质应用Abstract：Thenatureofthevarianceandtherelevantconclusionisanimportantconceptinprobabilitytheory.Thisarticletellsthestoryofthedefinitionsandpropertiesofvarianceandvariancetosolvesomepracticalproblemsintheirlives.Keywords：Thevariancecharacterapplication211引言方差（Variance），应用数学里的专有名词。在概率论和统计学中，一个随机变量的方差描述的是它的离散程度，也就是该变量离其期望值的距离。现代的生产方案决策则更多的应用了这一思想，对各因素发生大小的可能性数量化，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从中选择最佳方案，来指导生产，提高生产效率及收益。对于追求效益最大化的今天它的意义非常的重大。以下我们就现实生活中的问题，利用离散型随机变量的方差思想对实际问题进行分析计算，通过各个方案的比较选出最佳方案。下面我们介绍一些基本知识。2方差的基本性质及其证明2.1方差的定义数学期望描述了随机变量取值的“平均”.有时仅知道这个平均值还不够.例如，有A，B两名射手，他们每次射击命中的环数分别为X，Y，已知X，Y的分布律为：X8910(k)PX0.20.60.2表1Y8910(k)PY0.10.80.1表231由于()()9EXEY（环），可见从均值的角度是分不出谁的射击技术更高，故还需考虑其他的因素.通常的想法是：在射击的平均环数相等的条件下进一步衡量谁的射击技术更稳定些.也就是看谁命中的环数比较集中于平均值的附近，通常人们会采用命中的环数X与它的平均值E(X)之间的离差()XEX的均值EXE（X）来度量，EXE（X）愈小，表明X的值愈集中于()EX的附近，即技术稳定；EXE（X）愈大，表明X的值很分散，技术不稳定.但由于EXE（X）带有绝对值，运算不便，故通常采用X与()EX的离差()XEX的平方平均值2EXE（X）来度量随机变量X取值的分散程度.此例中，由于2EXE（X）2220.2(89)0.6(99)0.2(109)0.42()EYEY2220.1(89)0.8(99)0.1(109)0.2由此可见B的技术更稳定些.定义1设X是一个随机变量，若2EXE（X）存在，则称2EXE（X）为X的方差（Variance），记为()DX，即2()()DXEXEX.（1）称()DX为随机变量X的标准差（Standarddeviation）或均方差(Meansquaredeviation)，记为()X.根据定义可知，随机变量X的方差反映了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度.若X取值比较集中，则()DX较小，反之，若X取值比较分散，则()DX较大.由于方差是随机变量X的函数2g()()XXEX的数学期望.若离散41型随机变量X的分布律为,1,2kkPXxpK...，则21()()kkkDXxEXp.（2）若连续型随机变量X的概率密度为fx（），则2()()()DXxEXfxdx（3）由此可见，方差()DX是一个常数，它由随机变量的分布惟一确定.根据数学期望的性质可得：222()()2()()DXEXEXEXXEXEX.于是得到常用计算方差的简便公式22()()()DXEXEX.（4）例1设有甲，乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行检验，结果如下表：X2829303132P0.10.150.50.150.1表3Y2829303132P0.130.170.40.170.13表4其中X，Y分别表示甲，乙两种棉花的纤维的长度（单位：毫米），求()DX与()DY，且评定它们的质量.51解由于()280.15320.1=30EX，()280.13290.17300.4310.17320.1330EY，故得22222()(2830)0.1(2930)0.15(3030)0.5(3130)0.15(3230)0.1DX=40.1+10.15+00.5+10.15+40.1=1.1，22222()(2830)0.13(2930)0.17(3030)0.4(3130)0.17(3230)0.13DY40.1310.17+00.4+10.17+40.13=1.38.因()()DXDY，所以甲种棉花纤维长度的方差小些，说明其纤维比较均匀，故甲种棉花质量较好.例2设随机变量X的概率密度为f（x）=1,10,1,01,0,.xxxx其他求()DX.解0110()(1)(1)0EXxxdxxxdx，01222101()(1)(1)6EXxxdxxxdx，于是221()()()6DXEXEX.612.2方差的性质方差有下面几条重要的性质.设随机变量X与Y的方差存在，则1°设c为常数，则()0Dc；2°设c为常数，则2()()DcXcDX；3°()()()2(())(())DXYDXDYEXEXYEY；4°若X，Y相互独立，则()()()DXYDXDY；5°对任意的常数()cEX，有2D(X)()XcE.证仅证性质4°，5°.4°22()()()(())(())DXYEXYEXYEXEXYEY=22()2(())(())()EXEXEXEXYEYEYEY()()2(())(())DXDYEXEXYEY.当X与Y相互独立时，()XEX与()YEY也相互独立，由数学期望的性质有0EXEXYEYEXEXEYEY.因此有DXYDXDY.性质4°可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况.5°对任意常数c22()EXcEXEXEXc222EXEXEXcEXEXEXc712()DXEXC.故对任意常数cEX,有2()DXEXc.例3设12,,...,nxxx相互独立，且服从同一0-1分布，分布律为01ipXp,1ipXp1,2,...,in.证明12...nXXXX服从参数为,np的二项分布，并求()EX和()DX.解X所有可能取值为0，1，…，n，由独立性知X以特定的方式（例如前k个取1，后n-k个取0）取k（0kn）的概率为(1)knkpp,而X取k的两两互不相容的方式共有knC种，故(1)kknknpXkppc,k=0，1，2，…，n,即X服从参数为n，p的二项分布.由于()0(1)1iEXppp，22()(0)(1)(1)(1)iDXpppppp，i=1，2，…，n，故有1()()nniiiiiEXExEXnp由于12,,...,nxxx相互独立，得11()()(1)nniiiiDXDXDXnpp813方差在现实生活中的应用数学期望反应的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反应随机变量取值在其平均值附近的离散程度。现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差这思想来对事件发生大小的可能性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案。在当前社会生产中，更多商家等追求的是效益最大化，以下我将就现实生活中的种种问题，利用离散型随机变量的期望和方差的思想对实际问题进行分析计算，并通过各个方案的比较得出最佳方案。3.1方差在经济管理决策中的应用在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本.利用概率统计知识可以获得合理的决策,从而实现这个目标.下面以数学方差等数字特征为例说明它在经济管理决策中的应用.例4：某人有一笔资金,可投入3个项目:房产x、地产y和商业z,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差3个等级,其发生的概率分别为123p0.2,p0.7,p0.1,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元),见表请问:该投资者如何投资好？91各种投资年收益分布表好1 0.2p中20.7p差30.1p房产113-3地产64-1商业102-2解我们先考虑数学期望，可知:()110.230.7(3)0.14.0Ex()60.240.7(1)0,13.9Ey()100.220.7(2)0.13.2Ez根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风险.我们再来考虑它们的方差:222()(114)0.2(34)0.7(34)0.115.4Dx222()(63.9)0.2(43.9)0.7(13.9)0.13.29Dy222()(103.2)0.2(23.2)